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Determine k para que o conjunto de matrizes S=[ll1 & 0 1 & 0],[ll1 & 1 0 & 0],[cc2 & -1 k & 0] seja linearmente dependente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor de que faz com que o conjunto de matrizes seja linearmente dependente. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente à dependência linear de vetores (neste caso, matrizes). Para resolver, vamos precisar entender como verificar se existe uma combinação linear das matrizes que resulta na matriz zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente dependente. Um conjunto de matrizes é linearmente dependente se existe uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) dessas matrizes que resulta na matriz zero. Matematicamente, queremos encontrar escalares a 1 & 0 1 & 0 + b 1 & 1 0 & 0 + c 2 & -1 k & 0 = 0 & 0 0 & 0 , não todos zero, tais que:

Passo 3

Vamos escrever essa equação em termos das entradas das matrizes. Isso nos dá um sistema de equações:
a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 2 = 0 a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot (-1) = 0 a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot k = 0 a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 0 = 0
Notamos que a última equação não nos dá informação, então vamos focar nas três primeiras.

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema:
a + b + 2c = 0 b - c = 0 a + k c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre e .

Passo 5

Da segunda equação, temos a + c + 2c = 0 Rightarrow a + 3c = 0 Rightarrow a = -3c . Vamos substituir isso nas outras equações:
Primeira equação:
-3c + k c = 0 Rightarrow c(-3 + k) = 0
Terceira equação:

Passo 6

Para termos uma solução não trivial (onde -3 + k = 0 Rightarrow k = 3 ), o fator deve ser zero:

Resposta

O valor de que torna o conjunto linearmente dependente é .

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