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Determine para que o conjunto de matrizes seja linearmente dependente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor de que faz com que o conjunto de matrizes seja linearmente dependente. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente à dependência linear de vetores (neste caso, matrizes). Para resolver, vamos precisar entender como verificar se existe uma combinação linear das matrizes que resulta na matriz zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente dependente. Um conjunto de matrizes é linearmente dependente se existe uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) dessas matrizes que resulta na matriz zero. Matematicamente, queremos encontrar escalares , não todos zero, tais que:
Passo 3
Vamos escrever essa equação em termos das entradas das matrizes. Isso nos dá um sistema de equações:
Notamos que a última equação não nos dá informação, então vamos focar nas três primeiras.
Passo 4
Agora, temos o seguinte sistema:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre e .
Passo 5
Da segunda equação, temos . Vamos substituir isso nas outras equações:
Primeira equação:
Terceira equação:
Passo 6
Para termos uma solução não trivial (onde ), o fator deve ser zero:
Resposta
O valor de que torna o conjunto linearmente dependente é .