Sejam e bases de , onde
(b) Sabendo que , encontre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases, e , do espaço . A tarefa é encontrar as coordenadas do vetor na base , sabendo que na base as coordenadas são . Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas de uma base para outra, usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor no sistema padrão (base canônica). Sabemos que , o que significa que:
Onde e .

Passo 3

Vamos calcular essa combinação linear:
Então, no sistema padrão, .

Passo 4

Agora, queremos expressar na base , onde e . Isso significa que buscamos tais que:

Passo 5

Igualando isso ao vetor , temos:
Da segunda equação, já sabemos que . Substituindo na primeira:

Resposta

As coordenadas de na base são .

Exercícios relacionados

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Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo com incógnitas é um subespaço vetorial de .
Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(d)
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Encontre os possíveis valores de para que seja uma base de .
10
Determine para que o conjunto de matrizes seja linearmente dependente.