Sejam
e
bases de
, onde
(b) Sabendo que
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases,
e
, do espaço
. A tarefa é encontrar as coordenadas do vetor
na base
, sabendo que na base
as coordenadas são
. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas de uma base para outra, usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor
no sistema padrão (base canônica). Sabemos que
, o que significa que:
Onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular essa combinação linear:
Então, no sistema padrão,
.
Passo 4
Agora, queremos expressar
na base
, onde
e
. Isso significa que buscamos
tais que:
Passo 5
Igualando isso ao vetor
, temos:
Da segunda equação, já sabemos que
. Substituindo na primeira:
Resposta
As coordenadas de
na base
são
.