Sejam B=u1, u2 e B^prime=w1, w2 bases de R^2, onde
u1=(-1,2), u2=(2,-1), w1=(1,0), w2=(1,1)
(b) Sabendo que [v]B=(1,3), encontre [v]B^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases, e , do espaço . A tarefa é encontrar as coordenadas do vetor na base , sabendo que na base as coordenadas são . Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas de uma base para outra, usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor v = 1 cdot u1 + 3 cdot u2 no sistema padrão (base canônica). Sabemos que , o que significa que:
Onde e .

Passo 3

Vamos calcular essa combinação linear:
v = 1 cdot (-1, 2) + 3 cdot (2, -1) = (-1, 2) + (6, -3) = (-1 + 6, 2 - 3) = (5, -1)
Então, no sistema padrão, .

Passo 4

Agora, queremos expressar v = a cdot w1 + b cdot w2 = a cdot (1, 0) + b cdot (1, 1) = (a + b, 0 + b) na base , onde e . Isso significa que buscamos tais que:

Passo 5

Igualando isso ao vetor a + b = 5 b = -1 , temos:
a + (-1) = 5 Rightarrow a = 6
Da segunda equação, já sabemos que . Substituindo na primeira:

Resposta

As coordenadas de na base são .

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