Sejam u=(1,-2,1) e v=(0,1,-1) vetores em R^3. O vetor w=(3,3,-6) pertence ao subespaço gerado [u, v] ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o vetor pertence ao subespaço gerado pelos vetores e em . Isso envolve entender o que é um subespaço gerado por vetores, ou seja, todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dizer que a cdot u + b cdot v = w pertence ao subespaço gerado por e significa que existe uma combinação linear desses vetores que resulta em . Matematicamente, isso é:
Onde e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os vetores a cdot (1, -2, 1) + b cdot (0, 1, -1) = (3, 3, -6) , (a cdot 1 + b cdot 0,, a cdot (-2) + b cdot 1,, a cdot 1 + b cdot (-1)) = (3, 3, -6) e a = 3 -2a + b = 3 a - b = -6 na equação:
Isso resulta em:
Simplificando, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação já sabemos que -2(3) + b = 3 -6 + b = 3 b = 3 + 6 b = 9 .
Substituindo 3 - b = -6 b = 3 + 6 b = 9 na segunda equação:
Agora, vamos verificar na terceira equação:
Tudo certo, encontramos e .

Resposta

Sim, o vetor pertence ao subespaço gerado por e , pois existe uma combinação linear .

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