Sejam e vetores em . O vetor pertence ao subespaço gerado ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o vetor pertence ao subespaço gerado pelos vetores e em . Isso envolve entender o que é um subespaço gerado por vetores, ou seja, todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dizer que pertence ao subespaço gerado por e significa que existe uma combinação linear desses vetores que resulta em . Matematicamente, isso é:
Onde e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os vetores , e na equação:
Isso resulta em:
Simplificando, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação já sabemos que .
Substituindo na segunda equação:
Agora, vamos verificar na terceira equação:
Tudo certo, encontramos e .

Resposta

Sim, o vetor pertence ao subespaço gerado por e , pois existe uma combinação linear .

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