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Encontre os possíveis valores de k para que B=(1, k),(k, 4) seja uma base de R^2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar os valores de para que o conjunto seja uma base do . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver isso, precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes.

Passo 2

Em álgebra linear, um conjunto de vetores é uma base do espaço vetorial se e somente se os vetores forem linearmente independentes e gerarem todo o espaço. No caso do , dois vetores são suficientes para formar uma base, desde que sejam linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear de dois vetores no , podemos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores de A = 1 & k k & 4 :

Passo 5

Calculamos o determinante de det(A) = (1)(4) - (k)(k) = 4 - k^2 :

Passo 6

Para que 4 - k^2 neq 0 implies k^2 neq 4 seja uma base, o determinante deve ser diferente de zero:

Passo 7

Resolvendo a desigualdade:
k^2 neq 4 implies k neq pm 2

Resposta

Os possíveis valores de são todos os reais, exceto e .

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