Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas, especificamente analisando a convergência delas. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se calcularmos o limite:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Temos:
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty n^2 + 2n + 25(n^2 + 1) tende ao infinito:
Passo 6
Para calcular esse limite, observamos que os termos de maior grau no numerador e no denominador são L = limn to infty 1 + 2n + 2n^25(1 + 1n^2) = 1 + 0 + 05(1 + 0) = 15 . Podemos dividir todos os termos por :
Passo 7
Encontramos que , que é menor que 1. De acordo com o Teste da Razão, isso significa que a série converge.