(10,0) Determine se a série sumn=1^infty n^2+15^n converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas, especificamente analisando a convergência delas. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se calcularmos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Temos:
an = n^2 + 15^n
Precisamos calcular an+1 = (n+1)^2 + 15^n+1 = n^2 + 2n + 25^n+1 :

Passo 4

Vamos agora calcular a razão an+1an = n^2 + 2n + 25^n+1n^2 + 15^n = n^2 + 2n + 25(n^2 + 1) :

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = n^2 + 2n + 25(n^2 + 1)
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty n^2 + 2n + 25(n^2 + 1) tende ao infinito:

Passo 6

Para calcular esse limite, observamos que os termos de maior grau no numerador e no denominador são L = limn to infty 1 + 2n + 2n^25(1 + 1n^2) = 1 + 0 + 05(1 + 0) = 15 . Podemos dividir todos os termos por :

Passo 7

Encontramos que , que é menor que 1. De acordo com o Teste da Razão, isso significa que a série converge.

Resposta

A série converge.

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