Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar o sólido cujo volume é dado por uma integral dupla:
. Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como uma função de duas variáveis pode representar a altura de um sólido acima de uma região no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada:
. Essa função nos dá a altura do sólido em cada ponto
da região de integração, que aqui é o quadrado
e
no plano
.
Passo 3
Agora, para esboçar o sólido, vamos analisar como essa função se comporta dentro do quadrado de
e
. Quando
e
,
. Quando
e
,
. E quando
e
,
. E finalmente, quando
e
,
. Então, temos quatro pontos: (0,0,4), (1,0,3), (0,1,2) e (1,1,1).
Passo 4
Com esses pontos, podemos imaginar o sólido como uma espécie de “telhado” inclinado. Ele começa no ponto mais alto (0,0,4) e vai descendo em direção aos outros três pontos. As arestas do sólido serão linhas que conectam esses quatro pontos, formando um plano inclinado.
Passo 5
Além disso, como a região de integração é um quadrado unitário, o sólido vai estar “preso” acima desse quadrado no plano
. Então, para esboçar, desenhe o quadrado no eixo
e depois desenhe o plano inclinado que passa pelos quatro pontos que calculamos.
Resposta
O sólido é uma superfície plana inclinada definida pela função
acima do quadrado
e
no plano
. Ele forma um “telhado” inclinado que vai do ponto mais alto (0,0,4) até os pontos mais baixos nos vértices do quadrado, com alturas variando de 4 a 1.
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