Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada integral0^1 integral0^1(4- x-2 y) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar o sólido cujo volume é dado por uma integral dupla: integral0^1 integral0^1(4 - x - 2y) , dx , dy. Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como uma função de duas variáveis pode representar a altura de um sólido acima de uma região no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada: z = 4 - x - 2y. Essa função nos dá a altura do sólido em cada ponto (x, y) da região de integração, que aqui é o quadrado 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1 no plano xy.

Passo 3

Agora, para esboçar o sólido, vamos analisar como essa função se comporta dentro do quadrado de x e y. Quando x=0 e y=0, z=4. Quando x=1 e y=0, z=3. E quando x=0 e y=1, z=2. E finalmente, quando x=1 e y=1, z=1. Então, temos quatro pontos: (0,0,4), (1,0,3), (0,1,2) e (1,1,1).

Passo 4

Com esses pontos, podemos imaginar o sólido como uma espécie de “telhado” inclinado. Ele começa no ponto mais alto (0,0,4) e vai descendo em direção aos outros três pontos. As arestas do sólido serão linhas que conectam esses quatro pontos, formando um plano inclinado.

Passo 5

Além disso, como a região de integração é um quadrado unitário, o sólido vai estar “preso” acima desse quadrado no plano xy. Então, para esboçar, desenhe o quadrado no eixo xy e depois desenhe o plano inclinado que passa pelos quatro pontos que calculamos.

Resposta

O sólido é uma superfície plana inclinada definida pela função z = 4 - x - 2y acima do quadrado 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1 no plano xy. Ele forma um “telhado” inclinado que vai do ponto mais alto (0,0,4) até os pontos mais baixos nos vértices do quadrado, com alturas variando de 4 a 1.

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