Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Isso pertence à matéria de Cálculo, especificamente à parte de integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde as curvas se intersectam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando
é igual a
. Então, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática resultante. Subtraímos
de ambos os lados para igualar a zero:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Então, as soluções são:
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção em
e
, precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo,
:
Como
, a reta
está acima da parábola
nesse intervalo.
Passo 6
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula:
Neste caso,
e
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 7
Vamos montar a integral:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo os resultados:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.