Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = x^2 - 4 , y = x + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Isso pertence à matéria de Cálculo, especificamente à parte de integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde as curvas se intersectam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando é igual a . Então, igualamos as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática resultante. Subtraímos de ambos os lados para igualar a zero:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Então, as soluções são:

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção em e , precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Como , a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 6

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula:
Á
Neste caso, e , e os limites de integração são de a .

Passo 7

Vamos montar a integral:
Á

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Aplicamos os limites de integração de a :
Á
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo os resultados:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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