Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Isso pertence à matéria de Cálculo, especificamente à parte de integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde as curvas se intersectam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando
é igual a
. Então, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática resultante. Subtraímos
de ambos os lados para igualar a zero:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Então, as soluções são:
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção em
e
, precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo,
:
Como
, a reta
está acima da parábola
nesse intervalo.
Passo 6
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula:
Neste caso,
e
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 7
Vamos montar a integral:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo os resultados:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Avalie as seguintes integrais definidas.
Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(a)
(a)
Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.