Avalie as seguintes integrais definidas. integral0^2 2 t e^t^2 d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 2. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Vamos olhar para a função dentro da integral: . Perceba que o termo é o derivado de . Isso sugere que podemos usar a substituição .

Passo 3

Com a substituição dudt = 2t , calculamos a derivada de du = 2t , dt em relação a :
Isso implica que:
Agora, podemos substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral0^2 2t e^t^2 , dt = integralu(0)^u(2) e^u , du
Onde:
  • Quando integral0^4 e^u , du ,
  • Quando ,
    Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, integrar integral0^4 e^u , du = e^u |0^4 em relação a é simples, pois a integral de é . Então:

Passo 6

Aplicando os limites de integração, substituímos e^4 - e^0 por 4 e depois por 0:
e^4 - 1
Sabemos que , então:

Resposta

A integral definida é igual a .

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