Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 2. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Vamos olhar para a função dentro da integral: . Perceba que o termo é o derivado de . Isso sugere que podemos usar a substituição .
Passo 3
Com a substituição , calculamos a derivada de em relação a :
Isso implica que:
Agora, podemos substituir por na integral.
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
Onde:
Quando ,
Quando ,
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Agora, integrar em relação a é simples, pois a integral de é . Então:
Passo 6
Aplicando os limites de integração, substituímos e^4 - e^0 por 4 e depois por 0: