Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar uma transformação linear que vai de para . Além disso, essa transformação precisa ser sobrejetora, ou seja, ela deve cobrir todo o espaço . E tem mais uma condição: precisa ser igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, transformações lineares e condições para sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja, temos:
Passo 3
A transformação precisa ser sobrejetora, o que significa que a imagem de deve cobrir todo . Para isso, precisamos que a matriz tenha posto (rank) igual a 2. Ou seja, as duas linhas de devem ser linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a condição que . Calculando cada um:
Igualando os dois resultados:
Então, temos as seguintes equações:
Passo 5
Para garantir que a matriz tenha posto 2, precisamos que suas duas linhas não sejam múltiplas uma da outra. Ou seja, os vetores e devem ser linearmente independentes.
Passo 6
Vamos escolher valores para de forma que as condições sejam satisfeitas e a matriz tenha posto 2. Por exemplo, vamos escolher:
Com isso, usando as equações que encontramos:
Passo 7
Agora, nossa matriz fica assim:
Vamos verificar se as linhas são linearmente independentes. Se tentarmos multiplicar a primeira linha por algum escalar para obter a segunda, não encontraremos um valor que funcione, confirmando que o posto é 2. Portanto, é sobrejetora.
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada por: