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Determine T in L(F^3, F^2) sobrejetora tal que T(1,1,0)=T(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar uma transformação linear que vai de para . Além disso, essa transformação precisa ser sobrejetora, ou seja, ela deve cobrir todo o espaço . E tem mais uma condição: precisa ser igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, transformações lineares e condições para sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de T(x, y, z) = A x y z = a & b & c d & e & f x y z = a x + b y + c z d x + e y + f z para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja, temos:

Passo 3

A transformação precisa ser sobrejetora, o que significa que a imagem de deve cobrir todo . Para isso, precisamos que a matriz tenha posto (rank) igual a 2. Ou seja, as duas linhas de devem ser linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição que T(1,1,0) = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 d cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 0 = a + b d + e . Calculando cada um:
T(0,0,1) = a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 1 d cdot 0 + e cdot 0 + f cdot 1 = c f
a + b d + e = c f
Igualando os dois resultados:
a + b = c e d + e = f
Então, temos as seguintes equações:

Passo 5

Para garantir que a matriz tenha posto 2, precisamos que suas duas linhas não sejam múltiplas uma da outra. Ou seja, os vetores e devem ser linearmente independentes.

Passo 6

Vamos escolher valores para a = 1, b = 1, d = 0, e = 1 de forma que as condições sejam satisfeitas e a matriz tenha posto 2. Por exemplo, vamos escolher:
c = a + b = 1 + 1 = 2
Com isso, usando as equações que encontramos:
f = d + e = 0 + 1 = 1

Passo 7

Agora, nossa matriz A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 fica assim:
Vamos verificar se as linhas são linearmente independentes. Se tentarmos multiplicar a primeira linha por algum escalar para obter a segunda, não encontraremos um valor que funcione, confirmando que o posto é 2. Portanto, é sobrejetora.

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada por:
T(x, y, z) = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 x y z = x + y + 2z y + z

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