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Determine sobrejetora tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar uma transformação linear que vai de para . Além disso, essa transformação precisa ser sobrejetora, ou seja, ela deve cobrir todo o espaço . E tem mais uma condição: precisa ser igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, transformações lineares e condições para sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja, temos:

Passo 3

A transformação precisa ser sobrejetora, o que significa que a imagem de deve cobrir todo . Para isso, precisamos que a matriz tenha posto (rank) igual a 2. Ou seja, as duas linhas de devem ser linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição que . Calculando cada um:
Igualando os dois resultados:
Então, temos as seguintes equações:

Passo 5

Para garantir que a matriz tenha posto 2, precisamos que suas duas linhas não sejam múltiplas uma da outra. Ou seja, os vetores e devem ser linearmente independentes.

Passo 6

Vamos escolher valores para de forma que as condições sejam satisfeitas e a matriz tenha posto 2. Por exemplo, vamos escolher:
Com isso, usando as equações que encontramos:

Passo 7

Agora, nossa matriz fica assim:
Vamos verificar se as linhas são linearmente independentes. Se tentarmos multiplicar a primeira linha por algum escalar para obter a segunda, não encontraremos um valor que funcione, confirmando que o posto é 2. Portanto, é sobrejetora.

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada por:

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Seja . Mostre que se , então .
Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funçð̃es abaixo é linear:
(b) . (Diferença para frente)
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de :
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
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