Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da transformação linear
definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, determinantes e autovalores/autovetores.
Passo 2
Primeiro, representamos a transformação linear
por uma matriz. A matriz associada a
é:
Passo 3
Para encontrar os autovalores (
) de
, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
onde
é a matriz identidade de ordem 2:
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante de
:
Vamos expandir:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:
Passo 6
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Para
:
Resolvendo:
Então, um autovetor associado a
é:
Para
:
Resolvendo:
Então, um autovetor associado a
é:
Passo 7
Finalmente, vamos determinar os autoespaços generalizados. Como ambos os autovalores possuem multiplicidade algébrica igual à multiplicidade geométrica (cada autovalor tem um autovetor associado), os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços próprios.
Resposta
Existem dois autovalores para
:
Os autoespaços generalizados são iguais aos autoespaços próprios correspondentes a cada autovalor.