Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de T em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
© T(x, y)=(-4 x-3 y, 3 x+6 y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, determinantes e autovalores/autovetores.

Passo 2

Primeiro, representamos a transformação linear A = -4 & -3 3 & 6 por uma matriz. A matriz associada a é:

Passo 3

Para encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) de I = 1 & 0 0 & 1 , precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
A - lambda I = -4 - lambda & -3 3 & 6 - lambda
onde é a matriz identidade de ordem 2:
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante de det(A - lambda I) = (-4 - lambda)(6 - lambda) - (-3)(3) :
= (-4)(6 - lambda) - lambda(6 - lambda) + 9
Vamos expandir:
= -24 + 4lambda -6lambda + lambda^2 + 9
= lambda^2 - 2lambda -15

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 2lambda -15 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm raiz( -2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-15)2 cdot 1
lambda = 2 pm raiz4 + 602
lambda = 2 pm raiz642
lambda = 2 pm 82
Então, temos dois autovalores:
lambda1 = 2 + 82 = 5 e lambda2 = 2 - 82 = -3

Passo 6

Agora que temos os autovalores A - 5I = -4 - 5 & -3 3 & 6 - 5 = -9 & -3 3 & 1 e -9x - 3y = 0 Rightarrow 3x + y = 0 Rightarrow y = -3x , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para cada v1 = 1 -3 , resolvemos A - (-3)I = -4 + 3 & -3 3 & 6 + 3 = -1 & -3 3 & 9 , onde -1x - 3y = 0 Rightarrow x + 3y = 0 Rightarrow x = -3y é o autovetor.

Para v2 = -3 1 :

Resolvendo:
Então, um autovetor associado a é:

Para :

Resolvendo:
Então, um autovetor associado a é:

Passo 7

Finalmente, vamos determinar os autoespaços generalizados. Como ambos os autovalores possuem multiplicidade algébrica igual à multiplicidade geométrica (cada autovalor tem um autovetor associado), os autoespaços generalizados coincidem com os autoespaços próprios.

Resposta

Existem dois autovalores para lambda1 = 5 com autovetor v1 = 1 -3 :
lambda2 = -3 com autovetor v2 = -3 1
Os autoespaços generalizados são iguais aos autoespaços próprios correspondentes a cada autovalor.

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