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Seja . Mostre que se , então .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que vai de um espaço vetorial para outro . A afirmação é que se é gerado pelos vetores , ou seja, (onde representa a base desse espaço), então a imagem de , denotada por , é igual ao espaço gerado pela imagem de sob , isto é, .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, imagem de uma transformação, e espaço gerado por vetores (ou seja, combinação linear dos vetores).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso indica que todo vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de . Em outras palavras, é gerado por .
Então, qualquer vetor em pode ser expresso como:
onde é um escalar em .

Passo 3

Agora, vamos considerar a transformação linear . Aplicando a qualquer vetor em , temos:
Como é linear, podemos tirar o escalar de fora:

Passo 4

A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Com base na expressão anterior, vemos que:
Isso significa que todos os vetores na imagem são múltiplos escalares de .

Passo 5

O espaço gerado por , denotado por , é exatamente o conjunto de todas as combinações lineares (nesse caso, múltiplos escalar) de . Portanto:

Passo 6

Comparando as duas expressões:
Concluímos que a imagem de é igual ao espaço gerado por .

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funçð̃es abaixo é linear:
(b) . (Diferença para frente)
Verifique se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial do
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Determine sobrejetora tal que .
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de :