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Seja
. Mostre que se
, então
.
Seja
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que vai de um espaço vetorial
para outro
. A afirmação é que se
é gerado pelos vetores
, ou seja,
(onde
representa a base desse espaço), então a imagem de
, denotada por
, é igual ao espaço gerado pela imagem de
sob
, isto é,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, imagem de uma transformação, e espaço gerado por vetores (ou seja, combinação linear dos vetores).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso indica que todo vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear de
. Em outras palavras,
é gerado por
.
Então, qualquer vetor
em
pode ser expresso como:
onde
é um escalar em
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a transformação linear
. Aplicando
a qualquer vetor
em
, temos:
Como
é linear, podemos tirar o escalar
de fora:
Passo 4
A imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a vetores de
. Com base na expressão anterior, vemos que:
Isso significa que todos os vetores na imagem são múltiplos escalares de
.
Passo 5
O espaço gerado por
, denotado por
, é exatamente o conjunto de todas as combinações lineares (nesse caso, múltiplos escalar) de
. Portanto:
Passo 6
Comparando as duas expressões:
Concluímos que a imagem de
é igual ao espaço gerado por
.
Resposta
Exercícios relacionados
Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funçð̃es
abaixo é linear:
(b) . (Diferença para frente)
(b)
Verifique se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial do
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Determine sobrejetora tal que
.
Determine
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
: