Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado para adição de vetores e ser fechado para multiplicação por escalar. Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Substituindo na equação do conjunto:
Isso é verdade, então o vetor zero está em . Isso satisfaz a primeira condição de ser um subespaço.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado para a adição de vetores. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Vamos considerar dois vetores quaisquer em : e onde:
Vamos somar esses vetores:
Agora, verificamos se esse vetor está em :
Como a soma também satisfaz a equação , a soma dos vetores está em . Então, é fechado para adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um vetor qualquer em : onde , e multiplicar por um escalar :
Agora, verificamos se esse novo vetor está em :
Como , o vetor também está em . Portanto, é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado para adição de vetores e também para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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