Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto
é um subespaço de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado para adição de vetores e ser fechado para multiplicação por escalar. Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação do conjunto:
Isso é verdade, então o vetor zero está em
. Isso satisfaz a primeira condição de ser um subespaço.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto
é fechado para a adição de vetores. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores quaisquer em
:
e
onde:
Vamos somar esses vetores:
Agora, verificamos se esse vetor está em
:
Como a soma também satisfaz a equação
, a soma dos vetores está em
. Então,
é fechado para adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
onde
, e multiplicar por um escalar
:
Agora, verificamos se esse novo vetor está em
:
Como
, o vetor
também está em
. Portanto,
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado para adição de vetores e também para multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
10
Determine sobrejetora tal que
.
Determine
6
Seja . Mostre que se
, então
.
Seja
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
© .
©
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(h) , para todo
.
(h)