Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(x, y) in R^2 ; x+y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado para adição de vetores e ser fechado para multiplicação por escalar. Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto 0 + 0 = 0 contém o vetor zero. O vetor zero em é . Substituindo na equação do conjunto:
Isso é verdade, então o vetor zero está em . Isso satisfaz a primeira condição de ser um subespaço.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto x1 + y1 = 0 e x2 + y2 = 0 é fechado para a adição de vetores. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em (x1 + x2, y1 + y2) , a soma deles também deve estar em (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) = 0 + 0 = 0 .
Vamos considerar dois vetores quaisquer em : e onde:
Vamos somar esses vetores:
Agora, verificamos se esse vetor está em :
Como a soma também satisfaz a equação , a soma dos vetores está em . Então, é fechado para adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se c cdot (x, y) = (c x, c y) é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em c x + c y = c(x + y) = c cdot 0 = 0 e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um vetor qualquer em : onde , e multiplicar por um escalar :
Agora, verificamos se esse novo vetor está em :
Como , o vetor também está em . Portanto, é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado para adição de vetores e também para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

Exercícios relacionados