Sejam V=F(R, R) e h in R fixado. Mostre que cada uma das funçð̃es T: V V abaixo é linear:
(b) (T f)(x)=f(x+h)-f(x). (Diferença para frente)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função , definida por , é linear. Aqui, é o conjunto de todas as funções reais de para , e é um número real fixo. Para provar que é linear, precisamos usar conceitos de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer funções e em e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a estrutura linear do espaço vetorial é preservada pela transformação .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade da linearidade: se (T(f + g))(x) = (f + g)(x + h) - (f + g)(x) = f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x) .
Calculando T(f)(x) + T(g)(x) = [f(x + h) - f(x)] + [g(x + h) - g(x)] = f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x) :
Agora, calculando :
Observamos que , então a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: se (T(a f))(x) = a f(x + h) - a f(x) = a [f(x + h) - f(x)] .
Calculando a T(f)(x) = a [f(x + h) - f(x)] :
Agora, calculando :
Vemos que , então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades da linearidade foram verificadas, concluímos que a transformação definida por é linear.

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