Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funçð̃es
abaixo é linear:
(b)
. (Diferença para frente)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função
, definida por
, é linear. Aqui,
é o conjunto de todas as funções reais de
para
, e
é um número real fixo. Para provar que
é linear, precisamos usar conceitos de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer funções
e
em
e qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a estrutura linear do espaço vetorial é preservada pela transformação
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade da linearidade: se
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Observamos que
, então a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: se
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Vemos que
, então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades da linearidade foram verificadas, concluímos que a transformação
definida por
é linear.
Exercícios relacionados
Verifique se o conjunto das soluções do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial do
Seja
um conjunto l.i. em
. Verifique se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d…
a)
b)
c)
a)
b)
c)
6
Seja . Mostre que se
, então
.
Seja
10
Determine sobrejetora tal que
.
Determine