Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funçð̃es abaixo é linear:
(b) . (Diferença para frente)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função , definida por , é linear. Aqui, é o conjunto de todas as funções reais de para , e é um número real fixo. Para provar que é linear, precisamos usar conceitos de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer funções e em e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a estrutura linear do espaço vetorial é preservada pela transformação .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade da linearidade: se .
Calculando :
Agora, calculando :
Observamos que , então a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: se .
Calculando :
Agora, calculando :
Vemos que , então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades da linearidade foram verificadas, concluímos que a transformação definida por é linear.

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