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Determine os valores de para os quais a função é contínua para todos os reais.
(a)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar os valores de que fazem essa função ser contínua para todos os números reais. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em funções, especialmente em pontos onde a função muda de expressão, que aqui é em .

Passo 2

Para que a função seja contínua em , o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e também deve ser igual ao valor da função em .
Matematicamente, isso significa:

Passo 3

Vamos calcular cada um desses limites.
Primeiro, o limite pela esquerda ( ):
Porque para , , que é uma constante.

Passo 4

Agora, o limite pela direita ( ):
Substituímos por 2 na expressão .

Passo 5

Como a função deve ser contínua em , os dois limites devem ser iguais e também iguais ao valor da função em . Já que está na expressão para :
Então, temos a condição:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 8

Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas soluções reais.

Passo 9

Agora, calculamos as possíveis soluções para :
Portanto:

Resposta

Os valores de que tornam a função contínua para todos os reais são e .

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(d)
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(h)
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(b)
3
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(a)