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Determine os valores de
para os quais a função
é contínua para todos os reais.
(a)
Determine os valores de
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar os valores de
que fazem essa função ser contínua para todos os números reais. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em funções, especialmente em pontos onde a função muda de expressão, que aqui é em
.
Passo 2
Para que a função seja contínua em
, o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita, e também deve ser igual ao valor da função em
.
Matematicamente, isso significa:
Passo 3
Vamos calcular cada um desses limites.
Primeiro, o limite pela esquerda (
):
Porque para
,
, que é uma constante.
Passo 4
Agora, o limite pela direita (
):
Substituímos
por 2 na expressão
.
Passo 5
Como a função deve ser contínua em
, os dois limites devem ser iguais e também iguais ao valor da função em
. Já que
está na expressão para
:
Então, temos a condição:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 8
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas soluções reais.
Passo 9
Agora, calculamos as possíveis soluções para
:
Portanto:
Resposta
Os valores de
que tornam a função contínua para todos os reais são
e
.
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, com
, e
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