Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação
no intervalo
e precisa usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que existe uma raiz nesse intervalo. O TVI faz parte do estudo de funções contínuas e nos ajuda a garantir que uma função atinge certos valores dentro de um intervalo. Para resolver isso, vamos verificar os valores da função nos pontos 1 e 2 e ver se mudam de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar tudo de um lado, igualando a zero:
Agora, vamos definir a função:
Queremos encontrar se
tem uma solução no intervalo
.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função
em
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da função
em
:
Então,
.
Passo 5
Observamos que
e
. A função passou de negativo para positivo ao passar de
para
. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo
nesse intervalo.
Resposta
Portanto, existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.
Exercícios relacionados
10
Determine os valores de para os quais a função
é contínua para todos os reais.
(a)
Determine os valores de
(a)
Use os limites fundamentais
, com
, e
para calcular os limites abaixo.
(d)
(d)
3
Use os limites laterais para estudar o comportamento da função na descontinuidade e determine as equações para as assíntotas verticais.
(a)
Use os limites laterais para estudar o comportamento da função na descontinuidade e determine as equações para as assíntotas verticais.
(a)
A equação diferencial
em que
é constante. É chamada de Equação de Chebyshev.
(b) Mostre que, se for um inteiro não negativo
, então existirá uma solução polinomial de grau
.
(b) Mostre que, se