Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação no intervalo e precisa usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que existe uma raiz nesse intervalo. O TVI faz parte do estudo de funções contínuas e nos ajuda a garantir que uma função atinge certos valores dentro de um intervalo. Para resolver isso, vamos verificar os valores da função nos pontos 1 e 2 e ver se mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar tudo de um lado, igualando a zero:
Agora, vamos definir a função:
Queremos encontrar se tem uma solução no intervalo .

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função em :
Então, .

Passo 5

Observamos que e . A função passou de negativo para positivo ao passar de para . Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo nesse intervalo.

Resposta

Portanto, existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo .

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em que é constante. É chamada de Equação de Chebyshev.
(b) Mostre que, se for um inteiro não negativo , então existirá uma solução polinomial de grau .