Use o primeiro limite fundamental
para calcular os limites abaixo.
(h)
(h)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites, especificamente o primeiro limite fundamental
. Precisaremos entender um pouco sobre funções trigonométricas e como manipular expressões para aplicar esse limite fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Notamos que
está se aproximando de
, então vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir:
Quando
, então
. Isso nos ajuda a reescrever o limite em termos de
, que tende a zero.
Passo 3
Agora, substituímos
por
na expressão original:
Vamos simplificar cada parte. Sabemos que
e
podem ser expandidos usando as fórmulas de adição:
Sabemos que
. Substituindo esses valores:
Subtraindo as duas expressões:
Agora, simplificamos o denominador
:
Portanto, a expressão do limite fica:
Passo 4
Vamos simplificar mais um pouco. Sabemos que
. Substituindo na expressão:
À medida que
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. Então:
Resposta
O limite é
.
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para calcular os limites abaixo.
©
©
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno da origem. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
©
©
Use os limites fundamentais
, com
, e
para calcular os limites abaixo.
(d)
(d)
10
Determine os valores de para os quais a função
é contínua para todos os reais.
(a)
Determine os valores de
(a)