Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
(h)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite . Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites, especificamente o primeiro limite fundamental . Precisaremos entender um pouco sobre funções trigonométricas e como manipular expressões para aplicar esse limite fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Notamos que está se aproximando de , então vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir:
Quando , então . Isso nos ajuda a reescrever o limite em termos de , que tende a zero.

Passo 3

Agora, substituímos por na expressão original:
Vamos simplificar cada parte. Sabemos que e podem ser expandidos usando as fórmulas de adição:
Sabemos que . Substituindo esses valores:
Subtraindo as duas expressões:
Agora, simplificamos o denominador :
Portanto, a expressão do limite fica:

Passo 4

Vamos simplificar mais um pouco. Sabemos que . Substituindo na expressão:
À medida que se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então:

Resposta

O limite é .

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