Use o primeiro limite fundamental lim x 0 sen xx=1 para calcular os limites abaixo.
(h) lim x pi / 4 sen x-cos xcos 2 x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite . Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites, especificamente o primeiro limite fundamental . Precisaremos entender um pouco sobre funções trigonométricas e como manipular expressões para aplicar esse limite fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Notamos que h = x - pi4 está se aproximando de , então vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir:
Quando , então . Isso nos ajuda a reescrever o limite em termos de , que tende a zero.

Passo 3

Agora, substituímos limh 0 sin(pi4 + h) - cos(pi4 + h)cos(2(pi4 + h)) por sin(pi4 + h) = sinpi4cos h + cospi4sin h na expressão original:
cos(pi4 + h) = cospi4cos h - sinpi4sin h
Vamos simplificar cada parte. Sabemos que sin(pi4 + h) = raiz22cos h + raiz22sin h e cos(pi4 + h) = raiz22cos h - raiz22sin h podem ser expandidos usando as fórmulas de adição:
sin(pi4 + h) - cos(pi4 + h) = raiz22( cos h + sin h ) - raiz22( cos h - sin h ) = raiz2 sin h
cos(pi2 + 2h) = -sin(2h)
Sabemos que limh 0 raiz2 sin h- sin(2h) = -raiz2 limh 0 sin hsin 2h . Substituindo esses valores:
Subtraindo as duas expressões:
Agora, simplificamos o denominador :
Portanto, a expressão do limite fica:

Passo 4

Vamos simplificar mais um pouco. Sabemos que -raiz2 limh 0 sin h2 sin h cos h = -raiz2 limh 0 12 cos h . Substituindo na expressão:
-raiz2 cdot 12 cdot 1 = -raiz22
À medida que se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então:

Resposta

O limite é .

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