Use o primeiro limite fundamental
para calcular os limites abaixo.
(h)
(h)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites, especificamente o primeiro limite fundamental
. Precisaremos entender um pouco sobre funções trigonométricas e como manipular expressões para aplicar esse limite fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Notamos que
está se aproximando de
, então vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir:
Quando
, então
. Isso nos ajuda a reescrever o limite em termos de
, que tende a zero.
Passo 3
Agora, substituímos
por
na expressão original:
Vamos simplificar cada parte. Sabemos que
e
podem ser expandidos usando as fórmulas de adição:
Sabemos que
. Substituindo esses valores:
Subtraindo as duas expressões:
Agora, simplificamos o denominador
:
Portanto, a expressão do limite fica:
Passo 4
Vamos simplificar mais um pouco. Sabemos que
. Substituindo na expressão:
À medida que
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. Então:
Resposta
O limite é
.