3
Use os limites laterais para estudar o comportamento da função na descontinuidade e determine as equações para as assíntotas verticais.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar limites laterais pra entender como a função se comporta na descontinuidade e descobrir as equações das assíntotas verticais. A função que vamos analisar é . Para isso, vamos precisar entender o que são limites, descontinuidades e assíntotas verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter uma descontinuidade. Como estamos lidando com uma fração, a descontinuidade ocorre onde o denominador é zero, porque a divisão por zero não é definida. Então, vamos resolver:
Então, a função tem uma descontinuidade em .

Passo 3

Agora, vamos calcular os limites laterais quando se aproxima de 3. Primeiro, vamos ver o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
Substituindo valores próximos a 3 pela esquerda, percebemos que o denominador se aproxima de zero negativo, enquanto o numerador se aproxima de . Então:
ú

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ):
Aqui, o denominador se aproxima de zero positivo, e o numerador ainda se aproxima de 13. Então:
ú

Passo 5

Como os limites laterais não são iguais (um vai para e o outro para ), isso confirma que existe uma assíntota vertical em . A equação dessa assíntota é simplesmente:

Resposta

A função possui uma assíntota vertical na equação .

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(b)
10
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(a)
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em que é constante. É chamada de Equação de Chebyshev.
(b) Mostre que, se for um inteiro não negativo , então existirá uma solução polinomial de grau .