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Use os limites laterais para estudar o comportamento da função na descontinuidade e determine as equações para as assíntotas verticais.
(a)
Use os limites laterais para estudar o comportamento da função na descontinuidade e determine as equações para as assíntotas verticais.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar limites laterais pra entender como a função se comporta na descontinuidade e descobrir as equações das assíntotas verticais. A função que vamos analisar é
. Para isso, vamos precisar entender o que são limites, descontinuidades e assíntotas verticais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter uma descontinuidade. Como estamos lidando com uma fração, a descontinuidade ocorre onde o denominador é zero, porque a divisão por zero não é definida. Então, vamos resolver:
Então, a função tem uma descontinuidade em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular os limites laterais quando
se aproxima de 3. Primeiro, vamos ver o limite quando
se aproxima de 3 pela esquerda (
):
Substituindo valores próximos a 3 pela esquerda, percebemos que o denominador se aproxima de zero negativo, enquanto o numerador se aproxima de
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 3 pela direita (
):
Aqui, o denominador se aproxima de zero positivo, e o numerador ainda se aproxima de 13. Então:
Passo 5
Como os limites laterais não são iguais (um vai para
e o outro para
), isso confirma que existe uma assíntota vertical em
. A equação dessa assíntota é simplesmente:
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical na equação
.
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(b)
(b)
10
Determine os valores de para os quais a função
é contínua para todos os reais.
(a)
Determine os valores de
(a)
A equação diferencial
em que
é constante. É chamada de Equação de Chebyshev.
(b) Mostre que, se for um inteiro não negativo
, então existirá uma solução polinomial de grau
.
(b) Mostre que, se