Use os limites fundamentais lim x 0 a^x-1x=ln a, com a>0, e lim x infty(1+1x)^x=e para calcular os limites abaixo.
(d) lim x 0 5^x+3-125x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites e exponenciais. Para solucioná-lo, vamos utilizar os limites fundamentais que envolvem funções exponenciais, especificamente , onde .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 5^x+3 = 5^3 cdot 5^x = 125 cdot 5^x . Sabemos que 5^x+3 - 125x = 125 cdot 5^x - 125x pode ser reescrito usando propriedades das potências:
Substituindo isso na expressão original do limite, temos:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o 125 que está em ambos os termos do numerador:
125 cdot 5^x - 125x = 125 (5^x - 1)x
Podemos separar o 125 como um fator multiplicativo fora da fração:
125 cdot 5^x - 1x

Passo 4

Agora, aplicamos o limite fundamental que mencionamos no Passo 1. Sabemos que:
lim x 0 5^x - 1x = ln 5
Portanto, substituindo no nosso caso:
125 cdot ln 5

Resposta

125 ln 5

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