1. Encontre a inversa da matriz dada aplicando operações sobre as linhas, se a matriz é invertível então confira sua resposta por multiplicação.
    (a) [rrr3 & 4 & -1 1 & 0 & 3 2 & 5 & -4]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma matriz quadrada:
3 & 4 & -1 1 & 0 & 3 2 & 5 & -4
O objetivo é encontrar a inversa dessa matriz usando operações nas linhas. Para isso, vamos precisar saber sobre matrizes inversas e como usar operações elementares nas linhas para transformar a matriz original na identidade. Se conseguirmos fazer isso, a matriz será invertível e podemos conferir a resposta multiplicando a matriz original pela inversa encontrada.

Passo 2

Vamos começar montando uma matriz aumentada, que é a nossa matriz original ao lado da matriz identidade de 3x3:
[ccc|ccc 3 & 4 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 2 & 5 & -4 & 0 & 0 & 1 ]
Aqui, o objetivo é transformar o lado esquerdo (a matriz original) na identidade usando operações nas linhas. As mesmas operações serão aplicadas ao lado direito, que eventualmente se tornará a inversa.

Passo 3

Primeiro, vamos tornar o elemento da primeira linha e primeira coluna igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 3:
[ccc|ccc 1 & 43 & -13 & 13 & 0 & 0 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 2 & 5 & -4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Subtraímos a primeira linha da segunda linha e subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Segunda linha: [ccc|ccc 1 & 43 & -13 & 13 & 0 & 0 0 & -43 & 103 & -13 & 1 & 0 0 & 73 & -103 & -23 & 0 & 1 ]
Terceira linha:

Passo 5

Agora, vamos tornar o elemento da segunda linha e segunda coluna igual a 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por [ccc|ccc 1 & 43 & -13 & 13 & 0 & 0 0 & 1 & -52 & 14 & -34 & 0 0 & 73 & -103 & -23 & 0 & 1 ] :

Passo 6

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, subtraímos [ccc|ccc 1 & 0 & 76 & 13 - 43 times 14 & 0 - 43 times -34 & 0 0 & 1 & -52 & 14 & -34 & 0 0 & 0 & 52 & -23 - 73 times 14 & 0 - 73 times -34 & 1 ] vezes a segunda linha da primeira linha, e subtraímos [ccc|ccc 1 & 0 & 76 & 13 - 13 & 0 + 1 & 0 0 & 1 & -52 & 14 & -34 & 0 0 & 0 & 52 & -1112 & 74 & 1 ] vezes a segunda linha da terceira linha:
Primeira linha: [ccc|ccc 1 & 0 & 76 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -52 & 14 & -34 & 0 0 & 0 & 52 & -1112 & 74 & 1 ]
Terceira linha:
Simplificando os valores:

Passo 7

Agora, vamos tornar o elemento da terceira linha e terceira coluna igual a 1. Para isso, dividimos a terceira linha por [ccc|ccc 1 & 0 & 76 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -52 & 14 & -34 & 0 0 & 0 & 1 & -1112 times 25 & 74 times 25 & 25 ] :
[ccc|ccc 1 & 0 & 76 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -52 & 14 & -34 & 0 0 & 0 & 1 & -1130 & 710 & 25 ]
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Subtraímos [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0 - 76 times -1130 & 1 - 76 times 710 & 0 - 76 times 25 0 & 1 & 0 & 14 + 52 times -1130 & -34 + 52 times 710 & 0 + 52 times 25 0 & 0 & 1 & -1130 & 710 & 25 ] vezes a terceira linha da primeira linha e adicionamos [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 77180 & 5060 - 4960 & -1430 0 & 1 & 0 & 1560 - 5560 & -4560 + 3560 & 1010 0 & 0 & 1 & -1130 & 710 & 25 ] vezes a terceira linha à segunda linha:
Primeira linha: [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 77180 & 160 & -715 0 & 1 & 0 & -4060 & -1060 & 1 0 & 0 & 1 & -1130 & 710 & 25 ]
Segunda linha: [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 77180 & 160 & -715 0 & 1 & 0 & -23 & -16 & 1 0 & 0 & 1 & -1130 & 710 & 25 ]
Simplificando os valores:
Simplificando mais:

Resposta

A inversa da matriz dada é:
77180 & 160 & -715 -23 & -16 & 1 -1130 & 710 & 25

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