Encontre a inversa da matriz dada aplicando operações sobre as linhas, se a matriz é invertível então confira sua resposta por multiplicação.
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando operações nas linhas. A matriz que a gente tem é:
Para achar a inversa, vamos precisar aplicar operações nas linhas para transformar essa matriz na matriz identidade. Se conseguirmos fazer isso, a parte que começamos como identidade vai se transformar na inversa. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz aumentada, juntando a matriz original com a matriz identidade 3x3. Fica assim:
A ideia é usar operações nas linhas para transformar a parte esquerda (a matriz original) na identidade.
Passo 3
Vamos começar transformando o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) em 1. Atualmente, ele é 2. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:
Agora temos um 1 no topo esquerdo da matriz.
Passo 4
Vamos eliminar os demais elementos da primeira coluna, ou seja, queremos zeros abaixo do pivô. Para isso:
- Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
- Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha.
Fazendo isso, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. O pivô aqui é o 1 na segunda linha. Vamos deixar esse 1 e eliminar o 1 que está na terceira linha:
- Subtraímos a segunda linha da terceira linha.
A matriz resulta em:
Passo 6
Agora, vamos eliminar os elementos acima dos pivôs para transformar a parte esquerda na identidade completa.
- Subtraímos 3 vezes a segunda linha da primeira linha.
- Subtraímos 3 vezes a terceira linha da primeira linha.
Aplicando essas operações:
-
Subtraindo 3 vezes a segunda linha da primeira:
Linha 1 = Linha 1 - 3 times Linha 2 -
Subtraindo 3 vezes a terceira linha da primeira:
Linha 1 = Linha 1 - 3 times Linha 3
Após essas operações, a matriz fica:
Resposta
A inversa da matriz dada é:
Para conferir, podemos multiplicar a matriz original pela inversa e verificar se o resultado é a matriz identidade.