Encontre a inversa da matriz dada aplicando operações sobre as linhas, se a matriz é invertível então confira sua resposta por multiplicação.
(d) [lll2 & 6 & 6 2 & 7 & 6 2 & 7 & 7]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando operações nas linhas. A matriz que a gente tem é:
2 & 6 & 6 2 & 7 & 6 2 & 7 & 7
Para achar a inversa, vamos precisar aplicar operações nas linhas para transformar essa matriz na matriz identidade. Se conseguirmos fazer isso, a parte que começamos como identidade vai se transformar na inversa. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz aumentada, juntando a matriz original com a matriz identidade 3x3. Fica assim:
[ccc|ccc 2 & 6 & 6 & 1 & 0 & 0 2 & 7 & 6 & 0 & 1 & 0 2 & 7 & 7 & 0 & 0 & 1 ]
A ideia é usar operações nas linhas para transformar a parte esquerda (a matriz original) na identidade.

Passo 3

Vamos começar transformando o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) em 1. Atualmente, ele é 2. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:
[ccc|ccc 1 & 3 & 3 & 0.5 & 0 & 0 2 & 7 & 6 & 0 & 1 & 0 2 & 7 & 7 & 0 & 0 & 1 ]
Agora temos um 1 no topo esquerdo da matriz.

Passo 4

Vamos eliminar os demais elementos da primeira coluna, ou seja, queremos zeros abaixo do pivô. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha.
Fazendo isso, a matriz fica:
[ccc|ccc 1 & 3 & 3 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. O pivô aqui é o 1 na segunda linha. Vamos deixar esse 1 e eliminar o 1 que está na terceira linha:
  • Subtraímos a segunda linha da terceira linha.
A matriz resulta em:
[ccc|ccc 1 & 3 & 3 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos eliminar os elementos acima dos pivôs para transformar a parte esquerda na identidade completa.
  • Subtraímos 3 vezes a segunda linha da primeira linha.
  • Subtraímos 3 vezes a terceira linha da primeira linha.
Aplicando essas operações:
  1. Subtraindo 3 vezes a segunda linha da primeira:
    Linha 1 = Linha 1 - 3 times Linha 2
  2. Subtraindo 3 vezes a terceira linha da primeira:
    Linha 1 = Linha 1 - 3 times Linha 3
Após essas operações, a matriz fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 3.5 & -3 & 3 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 ]

Resposta

A inversa da matriz dada é:
3.5 & -3 & 3 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Para conferir, podemos multiplicar a matriz original pela inversa e verificar se o resultado é a matriz identidade.

Exercícios relacionados

  1. Encontre a inversa da matriz dada aplicando operações sobre as linhas, se a matriz é invertível então confira sua resposta por multiplicação.
    (a) [rrr3 & 4 & -1 1 & 0 & 3 2 & 5 & -4]
  1. Use o Teorema para calcular as inversas das seguintes matrizes:
    (a) A=[ll3 & 1 5 & 2]
Encontre a inversa da matriz dada aplicando operações sobre as linhas, se a matriz é invertível então confira sua resposta por multiplicação.
(e) [rrr1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 1 & 0]
Considere as matrizes
A=[rr3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[rr4 & -1 0 & 2], C=[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5], D=[rrr1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4], E=[rrr6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3]
Calcule os seguintes (quando possível):
(e) 12 C^T-14 A