Encontre a inversa da matriz dada aplicando operações sobre as linhas, se a matriz é invertível então confira sua resposta por multiplicação.
(e) [rrr1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 1 & 0]

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma matriz de 3x3 e o objetivo é encontrar a sua inversa usando operações nas linhas. A matéria envolvida é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar operações elementares nas linhas para transformar a matriz original na identidade, o que vai nos levar à matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original e colocá-la ao lado de uma matriz identidade de 3x3. Isso fica assim:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
A ideia é fazer com que a parte da esquerda (a matriz original) se torne a identidade através de operações nas linhas, e o que estiver do outro lado vai virar a inversa.

Passo 3

Vamos começar eliminando o -1 que está na posição (2,1). Para isso, vamos somar a primeira linha à segunda:
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, queremos eliminar o 1 que está na posição (3,2). Para isso, vamos subtrair a segunda linha da terceira:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 ]

Passo 5

Vamos simplificar a terceira linha dividindo todos os elementos por -2 para tornar o elemento (3,3) igual a 1:
Linha 3 = Linha 3 ÷ (-2)
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0.5 & 0.5 & -0.5 ]

Passo 6

Agora, vamos eliminar o 1 que está na posição (1,3). Para isso, vamos subtrair a terceira linha da primeira:
Linha 1 = Linha 1 - Linha 3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0.5 & -0.5 & 0.5 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0.5 & 0.5 & -0.5 ]

Passo 7

Por último, vamos eliminar o 2 que está na posição (2,3). Para isso, vamos subtrair 2 vezes a terceira linha da segunda:
Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0.5 & -0.5 & 0.5 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0.5 & 0.5 & -0.5 ]

Resposta

Então, a matriz inversa é:
0.5 & -0.5 & 0.5 0 & 0 & 1 0.5 & 0.5 & -0.5

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