Encontre a reta tangente à curva que passe pelo ponto . ( Dica: este ponto está fora da curva.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva que passa pelo ponto . Isso envolve um pouquinho de cálculo diferencial para achar a inclinação da reta tangente e depois usar isso para encontrar a equação da reta que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Então, vamos calcular a derivada de .
Isso significa que, em qualquer ponto na curva, a inclinação da tangente é .

Passo 3

Agora, sabemos que a equação da reta tangente em pode ser escrita usando o ponto e a inclinação. A fórmula da reta é:
Aqui, é a inclinação e é o ponto de tangência. No nosso caso, e . Então, a equação fica:

Passo 4

Sabemos que essa reta tangente também passa pelo ponto . Vamos substituir e na equação da reta para encontrar o valor de :

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, vamos expandir e simplificar:
Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:

Passo 6

Temos uma equação quadrática: . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então, as soluções são:

Passo 7

Agora que temos os valores de , vamos encontrar as equações das retas tangentes correspondentes.
  1. Para :
    • Inclinação
    • Ponto de tangência
    • Equação da reta: Simplificando:
  2. Para :
    • Inclinação
    • Ponto de tangência
    • Equação da reta: Simplificando:

Resposta

As retas tangentes à curva que passam pelo ponto são:
e

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3a Encontre, se possível, pelo menos dois valores que podem ser assumidos pelo limite: , para isso, escolha diferentes funções .
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