Encontre a reta tangente à curva
que passe pelo ponto
. ( Dica: este ponto está fora da curva.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva
que passa pelo ponto
. Isso envolve um pouquinho de cálculo diferencial para achar a inclinação da reta tangente e depois usar isso para encontrar a equação da reta que a gente quer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Então, vamos calcular a derivada de
.
Isso significa que, em qualquer ponto
na curva, a inclinação da tangente é
.
Passo 3
Agora, sabemos que a equação da reta tangente em
pode ser escrita usando o ponto e a inclinação. A fórmula da reta é:
Aqui,
é a inclinação e
é o ponto de tangência. No nosso caso,
e
. Então, a equação fica:
Passo 4
Sabemos que essa reta tangente também passa pelo ponto
. Vamos substituir
e
na equação da reta para encontrar o valor de
:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, vamos expandir e simplificar:
Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Passo 6
Temos uma equação quadrática:
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então, as soluções são:
Passo 7
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar as equações das retas tangentes correspondentes.
-
Para
: - Inclinação
- Ponto de tangência
- Equação da reta:
Simplificando:
- Inclinação
-
Para
: - Inclinação
- Ponto de tangência
- Equação da reta:
Simplificando:
- Inclinação
Resposta
As retas tangentes à curva
que passam pelo ponto
são:
e
Exercícios relacionados
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
3a Encontre, se possível, pelo menos dois valores que podem ser assumidos pelo limite:
, para isso, escolha diferentes funções
.
Usando a definição de derivada calcule
e
onde