Usando a definição de derivada calcule e onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função nos pontos e . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é um conceito fundamental em cálculo. Vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação de quando o incremento tende a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Essa fórmula nos dá a inclinação da reta tangente à curva de no ponto .

Passo 3

Vamos começar calculando . Aplicando a definição de derivada:
Sabemos que , então substituindo na expressão:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Agora, para resolver esse limite, podemos usar a aproximação de binômio para pequenas potências. Sabemos que para pequeno:
Onde . Aplicando isso:
Substituindo na expressão do limite:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular usando o mesmo método. Aplicando a definição de derivada:
Substituindo :
Sabemos que , então . Portanto:

Passo 6

Utilizando novamente a aproximação de binômio para , podemos reescrever a expressão ao redor de :
Sabemos que e . Então:
Substituindo na expressão do limite:
Então, .

Resposta

A derivada de é e .

Exercícios relacionados

3a Encontre, se possível, pelo menos dois valores que podem ser assumidos pelo limite: , para isso, escolha diferentes funções .
Encontre a reta tangente à curva que passe pelo ponto . ( Dica: este ponto está fora da curva.)
Encontre a derivada da função
Encontre a derivada da função