Usando a definição de derivada calcule
e
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
nos pontos
e
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é um conceito fundamental em cálculo. Vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da taxa de variação de
quando o incremento
tende a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Essa fórmula nos dá a inclinação da reta tangente à curva de
no ponto
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Aplicando a definição de derivada:
Sabemos que
, então substituindo na expressão:
Como
, simplificamos para:
Passo 4
Agora, para resolver esse limite, podemos usar a aproximação de binômio para pequenas potências. Sabemos que para
pequeno:
Onde
. Aplicando isso:
Substituindo na expressão do limite:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando o mesmo método. Aplicando a definição de derivada:
Substituindo
:
Sabemos que
, então
. Portanto:
Passo 6
Utilizando novamente a aproximação de binômio para
, podemos reescrever a expressão ao redor de
:
Sabemos que
e
. Então:
Substituindo na expressão do limite:
Então,
.
Resposta
A derivada de
é
e
.
Exercícios relacionados
3a Encontre, se possível, pelo menos dois valores que podem ser assumidos pelo limite:
, para isso, escolha diferentes funções
.
Encontre a derivada da função
Encontre a derivada da função