Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função
. Para isso, vamos determinar o domínio da função, seus limites, onde ela está crescendo ou decrescendo, os pontos de máximo e mínimo, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e as assíntotas, se tiverem. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para a função
, percebemos que a função exponencial
está sempre definida para qualquer número real
, já que a exponencial nunca é zero ou indefinida. Além disso, multiplicar por
não traz restrições adicionais. Então, o domínio da função é:
Passo 3
Agora, vamos investigar os limites da função à medida que
tende a mais e menos infinito. Isso nos ajuda a entender o comportamento da função nas extremidades.
- Limite quando
tende a :
- Limite quando
tende a :
Isso ocorre porque a exponencial cresce muito rapidamente, dominando o termo
.
Passo 4
Vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função e ver onde ela é positiva ou negativa.
A função é
.
Primeiro, aplicamos a regra do produto para derivar:
Simplificando:
Como
é sempre positivo, o sinal da derivada depende de
.
Vamos resolver a inequação
.
Calculando o discriminante:
As raízes são:
Então:
A parábola
está acima do eixo
fora das raízes. Assim:
- Crescente em:
- Decrescente em:
Passo 5
Vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo locais. Esses pontos ocorrem onde a derivada é zero e a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Já vimos que
quando
, ou seja, nos pontos
e
.
- No
:
Decrecendo antes de
e crescendo depois, indicando um mínimo local.
- No
:
Crescendo antes de
e decrescendo depois, indicando um máximo local.
Passo 6
Vamos determinar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade. Para isso, calculamos a segunda derivada da função
.
Primeiro, lembraremos que
.
Agora, derivamos
para encontrar
:
Fatorando
:
Para simplificar, podemos observar o sinal de
:
Como
é sempre positivo, o sinal de
depende do polinômio dentro dos colchetes. Esse polinômio será analisado para determinar onde a concavidade muda, ou seja, os pontos de inflexão.
Após resolver a equação
, encontramos os pontos de inflexão, que são os valores de
onde a concavidade muda de para cima para para baixo ou vice-versa.
Passo 7
Por fim, vamos identificar as assíntotas da função, se houver. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
Para a função
:
- Assíntotas verticais: Não existem, já que a função está definida para todo
. - Assíntotas horizontais: Não existem, já que os limites quando
tende a são .
Resposta
O domínio da função é todos os números reais
. A função tende a
quando
tende a
e a
quando
tende a
. Ela está crescendo nos intervalos
e
, e decrescendo em
. Há um mínimo local em
e um máximo local em
. Não existem assíntotas na função.
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