Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função . Para isso, vamos determinar o domínio da função, seus limites, onde ela está crescendo ou decrescendo, os pontos de máximo e mínimo, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e as assíntotas, se tiverem. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função , percebemos que a função exponencial está sempre definida para qualquer número real , já que a exponencial nunca é zero ou indefinida. Além disso, multiplicar por não traz restrições adicionais. Então, o domínio da função é:
íú

Passo 3

Agora, vamos investigar os limites da função à medida que tende a mais e menos infinito. Isso nos ajuda a entender o comportamento da função nas extremidades.
  • Limite quando tende a :
  • Limite quando tende a :
Isso ocorre porque a exponencial cresce muito rapidamente, dominando o termo .

Passo 4

Vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função e ver onde ela é positiva ou negativa.
A função é .
Primeiro, aplicamos a regra do produto para derivar:
Simplificando:
Como é sempre positivo, o sinal da derivada depende de .
Vamos resolver a inequação .
Calculando o discriminante:
As raízes são:
Então:
A parábola está acima do eixo fora das raízes. Assim:
  • Crescente em:
  • Decrescente em:

Passo 5

Vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo locais. Esses pontos ocorrem onde a derivada é zero e a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Já vimos que quando , ou seja, nos pontos e .
  • No :
Decrecendo antes de e crescendo depois, indicando um mínimo local.
  • No :
Crescendo antes de e decrescendo depois, indicando um máximo local.

Passo 6

Vamos determinar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade. Para isso, calculamos a segunda derivada da função .
Primeiro, lembraremos que .
Agora, derivamos para encontrar :
Fatorando :
Para simplificar, podemos observar o sinal de :
Como é sempre positivo, o sinal de depende do polinômio dentro dos colchetes. Esse polinômio será analisado para determinar onde a concavidade muda, ou seja, os pontos de inflexão.
Após resolver a equação , encontramos os pontos de inflexão, que são os valores de onde a concavidade muda de para cima para para baixo ou vice-versa.

Passo 7

Por fim, vamos identificar as assíntotas da função, se houver. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
Para a função :
  • Assíntotas verticais: Não existem, já que a função está definida para todo .
  • Assíntotas horizontais: Não existem, já que os limites quando tende a são .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais . A função tende a quando tende a e a quando tende a . Ela está crescendo nos intervalos e , e decrescendo em . Há um mínimo local em e um máximo local em . Não existem assíntotas na função.

Exercícios relacionados

Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Façã o grafico da função dada, determine o dominio da função, os limites correspondentes, as regioes onde a função é crescente, decrescente, indicando os pontos de máximos e mínimo, inlexões, intervalos de concavidade para cima e para baixo, e asintotas, quando posivel.
Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Ll)
Encontre a reta tangente à curva que passe pelo ponto . ( Dica: este ponto está fora da curva.)