1. A equação diferencial
x(1-x) y'' + [γ - (1 + α + β) x] y' - α β y = 0
em que alpha, beta e gamma são constantes, é conhecida como a equação hipergeométrica.
(b) Mostre que x = 1 é um ponto singular regular e que as raízes da equação indicial são 0 e γ - α - β.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada equação hipergeométrica:
Aqui, alpha, beta e gamma são constantes. Nosso objetivo é mostrar que x = 1 é um ponto singular regular e encontrar as raízes da equação indicial, que são 0 e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares, pontos singulares regulares e a equação indicial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre pontos singulares em uma equação diferencial. Em uma equação diferencial ordinária de segunda ordem que pode ser escrita na forma padrão:
um ponto é chamado de ponto regular se as funções e forem analíticas em . Se essas condições não forem atendidas, é um ponto singular irregular.
No nosso caso, a equação não está na forma padrão. Vamos reescrevê-la para identificar P(x) e Q(x).

Passo 3

Vamos dividir toda a equação por para chegar à forma padrão:
Agora, podemos identificar:

Passo 4

Queremos analisar o ponto x = 1. Para verificar se é um ponto regular, precisamos examinar e .
Vamos calcular cada um:
Primeiro, :
Agora, :

Passo 5

Agora, precisamos verificar se essas expressões são analíticas em x = 1. Isso significa que elas devem ser bem comportadas (sem divisões por zero ou termos que se tornam infinitos) quando x se aproxima de 1.
Observando :
Quando , o denominador não causa problemas, e o numerador também se comporta bem:
Portanto, é analítico em x = 1.
Agora, :
Quando , novamente, o denominador não causa problemas, e o numerador tende a zero de forma suave. Portanto, também é analítico em x = 1.

Passo 6

Como tanto quanto são analíticos em x = 1, podemos concluir que x = 1 é um ponto singular regular da equação diferencial dada.

Passo 7

Agora, vamos encontrar as raízes da equação indicial no ponto singular regular x = 1. A equação indicial nos ajuda a encontrar os expoentes de x na solução da equação diferencial perto do ponto singular.
A equação indicial é dada por:
onde e .
No nosso caso, .

Passo 8

Vamos calcular e q(1) usando as expressões que encontramos anteriormente:
Agora, substituindo na equação indicial:
Simplificando:

Passo 9

Fatorando a equação indicial:
Isso nos dá as raízes:

Resposta

Então, mostramos que x = 1 é um ponto singular regular da equação hipergeométrica dada e as raízes da equação indicial são 0 e .

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