- A equação diferencial
em que
e
são constantes, é conhecida como a equação hipergeométrica.
(b) Mostre que
é um ponto singular regular e que as raízes da equação indicial são 0 e
.
(b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada equação hipergeométrica:
Aqui,
,
e
são constantes. Nosso objetivo é mostrar que
é um ponto singular regular e encontrar as raízes da equação indicial, que são 0 e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares, pontos singulares regulares e a equação indicial. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre pontos singulares em uma equação diferencial. Em uma equação diferencial ordinária de segunda ordem que pode ser escrita na forma padrão:
um ponto
é chamado de ponto regular se as funções
e
forem analíticas em
. Se essas condições não forem atendidas,
é um ponto singular irregular.
No nosso caso, a equação não está na forma padrão. Vamos reescrevê-la para identificar
e
.
Passo 3
Vamos dividir toda a equação por
para chegar à forma padrão:
Agora, podemos identificar:
Passo 4
Queremos analisar o ponto
. Para verificar se é um ponto regular, precisamos examinar
e
.
Vamos calcular cada um:
Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se essas expressões são analíticas em
. Isso significa que elas devem ser bem comportadas (sem divisões por zero ou termos que se tornam infinitos) quando
se aproxima de 1.
Observando
:
Quando
, o denominador
não causa problemas, e o numerador também se comporta bem:
Portanto,
é analítico em
.
Agora,
:
Quando
, novamente, o denominador
não causa problemas, e o numerador tende a zero de forma suave. Portanto,
também é analítico em
.
Passo 6
Como tanto
quanto
são analíticos em
, podemos concluir que
é um ponto singular regular da equação diferencial dada.
Passo 7
Agora, vamos encontrar as raízes da equação indicial no ponto singular regular
. A equação indicial nos ajuda a encontrar os expoentes de
na solução da equação diferencial perto do ponto singular.
A equação indicial é dada por:
onde
e
.
No nosso caso,
.
Passo 8
Vamos calcular
e
usando as expressões que encontramos anteriormente:
Agora, substituindo na equação indicial:
Simplificando:
Passo 9
Fatorando a equação indicial:
Isso nos dá as raízes:
Resposta
Então, mostramos que
é um ponto singular regular da equação hipergeométrica dada e as raízes da equação indicial são
e
.