Encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.
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Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente precisa resolver aqui! O enunciado pede para encontrar todos os pontos singulares da equação diferencial dada e dizer se cada um é regular ou irregular. A equação que temos é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares para identificar esses pontos. Precisamos entender onde a equação pode ter problemas (singulares) e classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos toda a equação por
(que é o coeficiente de
):
Agora, identificamos as funções
e
:
Passo 3
Os pontos singulares são os valores de
onde os coeficientes
ou
não são analíticos (ou seja, não são bem comportados, como ter divisões por zero).
Observando
e
:
-
tem no denominador, então pode ser um ponto problemático. -
tem no denominador, reforçando que é um ponto singular.
Portanto, o único ponto singular da equação é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar se esse ponto singular (
) é regular ou irregular.
Para isso, verificamos se as seguintes condições são satisfeitas na vizinhança de
:
-
deve ser analítica em . -
deve ser analítica em .
Vamos calcular:
Passo 5
Agora, analisamos a analiticidade desses resultados:
-
Para
: Sabemos que tende a 1 quando, então essa expressão é bem comportada em . -
Para
: Essa função é claramente analítica em.
Como ambas as condições são satisfeitas, o ponto singular
é regular.
Resposta
O único ponto singular da equação é
, e ele é um ponto singular regular.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas, determine
e
para o ponto dado
, se
é uma solução do problema de valor inicial dado.
(b)
(b)
É
um ponto ordinário da equação
.
Encontre os limites infinitos.
(i)
(i)
- A equação diferencial
em que
e
são constantes, é conhecida como a equação hipergeométrica.
(b) Mostre que é um ponto singular regular e que as raízes da equação indicial são 0 e
.
(b) Mostre que