Encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.
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Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente precisa resolver aqui! O enunciado pede para encontrar todos os pontos singulares da equação diferencial dada e dizer se cada um é regular ou irregular. A equação que temos é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares para identificar esses pontos. Precisamos entender onde a equação pode ter problemas (singulares) e classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos toda a equação por (que é o coeficiente de ):
Agora, identificamos as funções e :

Passo 3

Os pontos singulares são os valores de onde os coeficientes ou não são analíticos (ou seja, não são bem comportados, como ter divisões por zero).
Observando e :
  • tem no denominador, então pode ser um ponto problemático.
  • tem no denominador, reforçando que é um ponto singular.
Portanto, o único ponto singular da equação é .

Passo 4

Agora, vamos determinar se esse ponto singular ( ) é regular ou irregular.
Para isso, verificamos se as seguintes condições são satisfeitas na vizinhança de :
  1. deve ser analítica em .
  2. deve ser analítica em .
Vamos calcular:

Passo 5

Agora, analisamos a analiticidade desses resultados:
  1. Para :
    Sabemos que tende a 1 quando , então essa expressão é bem comportada em .
  2. Para :
    Essa função é claramente analítica em .
Como ambas as condições são satisfeitas, o ponto singular é regular.

Resposta

O único ponto singular da equação é , e ele é um ponto singular regular.

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(b)
É um ponto ordinário da equação .
Encontre os limites infinitos.
(i)
  1. A equação diferencial
em que e são constantes, é conhecida como a equação hipergeométrica.
(b) Mostre que é um ponto singular regular e que as raízes da equação indicial são 0 e .