Use os limites laterais para estudar o comportamento da função na descontinuidade e determine as equações para as assíntotas verticais.
(d) y = sec(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é usar os limites laterais para entender como a função se comporta nas suas descontinuidades e, a partir disso, descobrir as equações das assíntotas verticais da função dada. A função em questão é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função secante. A secante é definida como o inverso da função cosseno. Ou seja:
Então, para descobrir onde a função tem descontinuidades, precisamos encontrar onde o denominador, , é igual a zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que tornam a função indefinida:
Sabemos que o cosseno de é zero em:
Isso significa que nos pontos , a função não está definida e pode ter assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função próximo desses pontos de descontinuidade usando os limites laterais. Vamos considerar aproximando-se de por valores menores e maiores:
Isso mostra que a função tende para infinito positivo e negativo nas proximidades de , indicando a presença de uma assíntota vertical nesse ponto.

Passo 5

De maneira geral, para qualquer , os pontos de descontinuidade são:
E em cada um desses pontos, a função terá uma assíntota vertical, já que o comportamento é semelhante ao que vimos no Passo 4.

Resposta

As equações das assíntotas verticais da função são:

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