Use os limites laterais para estudar o comportamento da função na descontinuidade e determine as equações para as assíntotas verticais.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é usar os limites laterais para entender como a função se comporta nas suas descontinuidades e, a partir disso, descobrir as equações das assíntotas verticais da função dada. A função em questão é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função secante. A secante é definida como o inverso da função cosseno. Ou seja:
Então, para descobrir onde a função
tem descontinuidades, precisamos encontrar onde o denominador,
, é igual a zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para encontrar os valores de
que tornam a função
indefinida:
Sabemos que o cosseno de
é zero em:
Isso significa que nos pontos
, a função
não está definida e pode ter assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função
próximo desses pontos de descontinuidade usando os limites laterais. Vamos considerar
aproximando-se de
por valores menores e maiores:
Isso mostra que a função tende para infinito positivo e negativo nas proximidades de
, indicando a presença de uma assíntota vertical nesse ponto.
Passo 5
De maneira geral, para qualquer
, os pontos de descontinuidade são:
E em cada um desses pontos, a função
terá uma assíntota vertical, já que o comportamento é semelhante ao que vimos no Passo 4.
Resposta
As equações das assíntotas verticais da função
são: