Encontre os limites infinitos.
(i) lim x (pi / 2)^- tan x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o limite infinito de tan x quando x se aproxima de pi/2 pela esquerda. Estamos trabalhando com limites no cálculo, especialmente analisando como a função tangente se comporta perto de certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente pode ser escrita como a razão entre o seno e o cosseno de x:
tan x = sin xcos x
Isso é importante porque nos ajuda a entender como a tangente se comporta dependendo dos valores de seno e cosseno.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com sin x e cos x quando x se aproxima de pi/2. Sabemos que:
sin(pi2) = 1
e
cos(pi2) = 0
Então, à medida que x se aproxima de pi/2, o seno está se aproximando de 1 e o cosseno está se aproximando de 0.

Passo 4

Como estamos considerando o limite pela esquerda, ou seja, valores de x menores que pi/2, o cosseno de x está se aproximando de 0 a partir de valores positivos. Isso significa que cos x está ficando muito pequeno, mas ainda positivo.

Passo 5

Voltando à expressão da tangente:
tan x = sin xcos x
Sabemos que sin x está se aproximando de 1 e cos x está se aproximando de 0 ^+ (zero vindo do positivo). Então, estamos dividindo um número próximo de 1 por um número cada vez menor e positivo, o que faz com que o valor de tan x cresça sem limites.

Resposta

Portanto,
lim x (pi / 2)^- tan x = +infty

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