Encontre os limites infinitos.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o limite infinito de quando x se aproxima de pela esquerda. Estamos trabalhando com limites no cálculo, especialmente analisando como a função tangente se comporta perto de certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente pode ser escrita como a razão entre o seno e o cosseno de x:
Isso é importante porque nos ajuda a entender como a tangente se comporta dependendo dos valores de seno e cosseno.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com e quando x se aproxima de . Sabemos que:
e
Então, à medida que x se aproxima de , o seno está se aproximando de 1 e o cosseno está se aproximando de 0.

Passo 4

Como estamos considerando o limite pela esquerda, ou seja, valores de x menores que , o cosseno de x está se aproximando de 0 a partir de valores positivos. Isso significa que está ficando muito pequeno, mas ainda positivo.

Passo 5

Voltando à expressão da tangente:
Sabemos que está se aproximando de 1 e está se aproximando de 0 (zero vindo do positivo). Então, estamos dividindo um número próximo de 1 por um número cada vez menor e positivo, o que faz com que o valor de cresça sem limites.

Resposta

Portanto,

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