Encontre duas soluções em série, y1 e y2, para a equação em torno da origem. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano W(y1, y2)(x0). Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
(b) cos(x) y'' + x y' - 2 y = 0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas da função em relação a . A equação é:
O objetivo é encontrar duas soluções dessa equação usando séries de potências (séries em torno da origem), descobrir os primeiros quatro termos de cada solução, calcular o wronskiano e estimar o raio de convergência de cada série. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de séries de potências, equações diferenciais lineares e conceitos de análise como o wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno da origem:
Isso significa que é uma soma infinita de termos , onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Essas expressões nos ajudarão a substituir na equação original.

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial:
Para simplificar, vamos usar a expansão da série de :

Passo 5

Multiplicando as séries, teremos termos envolvendo produtos de potências de . Para encontrar os coeficientes , precisamos igualar os coeficientes de cada potência de a zero.
Vamos organizar todos os termos de forma que possamos identificar os coeficientes correspondentes a cada .

Passo 6

Igualando os coeficientes para cada potência de a zero, obtemos uma equação recursiva para os . Isso nos permitirá calcular os primeiros coeficientes e .

Passo 7

Calculando os coeficientes, encontramos duas soluções independentes, e , cada uma com seus próprios coeficientes . Vamos listar os primeiros quatro termos de cada solução:
Onde e são os coeficientes calculados a partir da equação recursiva.

Passo 8

Com as duas soluções e encontradas, vamos calcular o wronskiano . O wronskiano é dado por:
Substituímos na expressão acima para encontrar o valor específico do wronskiano naquele ponto.

Passo 9

Para estimar o raio de convergência das séries, usamos o teste da razão ou o teste da raiz nas séries de potências encontradas. O raio de convergência nos indica para quais valores de a série converge, ou seja, onde a solução é válida.

Resposta

Encontramos duas soluções em série para a equação diferencial dada:
O wronskiano calculado em é:
E esperamos que o raio de convergência de cada solução seja determinado pelo módulo dos coeficientes na série, indicando até onde as soluções em série são válidas.

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