Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno da origem. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
(b)
(b)
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas da função
em relação a
. A equação é:
O objetivo é encontrar duas soluções dessa equação usando séries de potências (séries em torno da origem), descobrir os primeiros quatro termos de cada solução, calcular o wronskiano
e estimar o raio de convergência de cada série. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de séries de potências, equações diferenciais lineares e conceitos de análise como o wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno da origem:
Isso significa que
é uma soma infinita de termos
, onde
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Essas expressões nos ajudarão a substituir na equação original.
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Para simplificar, vamos usar a expansão da série de
:
Passo 5
Multiplicando as séries, teremos termos envolvendo produtos de potências de
. Para encontrar os coeficientes
, precisamos igualar os coeficientes de cada potência de
a zero.
Vamos organizar todos os termos de forma que possamos identificar os coeficientes correspondentes a cada
.
Passo 6
Igualando os coeficientes para cada potência de
a zero, obtemos uma equação recursiva para os
. Isso nos permitirá calcular os primeiros coeficientes
e
.
Passo 7
Calculando os coeficientes, encontramos duas soluções independentes,
e
, cada uma com seus próprios coeficientes
. Vamos listar os primeiros quatro termos de cada solução:
Onde
e
são os coeficientes calculados a partir da equação recursiva.
Passo 8
Com as duas soluções
e
encontradas, vamos calcular o wronskiano
. O wronskiano é dado por:
Substituímos
na expressão acima para encontrar o valor específico do wronskiano naquele ponto.
Passo 9
Para estimar o raio de convergência das séries, usamos o teste da razão ou o teste da raiz nas séries de potências encontradas. O raio de convergência nos indica para quais valores de
a série converge, ou seja, onde a solução é válida.
Resposta
Encontramos duas soluções em série para a equação diferencial dada:
O wronskiano calculado em
é:
E esperamos que o raio de convergência de cada solução seja determinado pelo módulo dos coeficientes na série, indicando até onde as soluções em série são válidas.