Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a derivada de uma função, que é
, e precisamos descobrir qual é a função original
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que é justamente o processo de “desfazer” a derivada.
Passo 2
O objetivo aqui é encontrar
a partir da sua derivada
. Basicamente, precisamos integrar
em relação a
. Então, temos:
Passo 3
Agora, olhemos para a expressão que vamos integrar:
. Essa expressão parece complicada, mas vamos tentar simplificar. A gente percebe que
é uma função bastante específica, e sua derivada envolve justamente os termos que temos na expressão.
Passo 4
Vamos lembrar uma regra importante de derivação: se tivermos uma função da forma
, sua derivada é
, onde
é uma função de
. No nosso caso,
. Então, a derivada de
será:
Passo 5
Precisamos agora calcular a derivada de
. Para isso, usamos logaritmos para facilitar:
Então, substituindo de volta na derivada de
:
E olha só, isso é exatamente o que temos para
!
Resposta
Portanto, ao integrar
, encontramos que:
onde
é a constante de integração.