1. f'(x) = x^x * e^(x^x) * (1 + ln(x))

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a derivada de uma função, que é , e precisamos descobrir qual é a função original f(x). Para isso, vamos usar o cálculo integral, que é justamente o processo de “desfazer” a derivada.

Passo 2

O objetivo aqui é encontrar f(x) a partir da sua derivada f'(x). Basicamente, precisamos integrar f'(x) em relação a x. Então, temos:

Passo 3

Agora, olhemos para a expressão que vamos integrar: . Essa expressão parece complicada, mas vamos tentar simplificar. A gente percebe que é uma função bastante específica, e sua derivada envolve justamente os termos que temos na expressão.

Passo 4

Vamos lembrar uma regra importante de derivação: se tivermos uma função da forma , sua derivada é , onde u(x) é uma função de x. No nosso caso, . Então, a derivada de será:

Passo 5

Precisamos agora calcular a derivada de x^x. Para isso, usamos logaritmos para facilitar:
Então, substituindo de volta na derivada de :
E olha só, isso é exatamente o que temos para f'(x)!

Resposta

Portanto, ao integrar f'(x), encontramos que:
onde C é a constante de integração.

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