1. y' = y/x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais separáveis, que são aquelas que conseguimos separar os termos com de um lado e os termos com do outro. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação original é:
Sabemos que é a derivada de em relação a , ou seja, . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por e multiplicamos por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A integral de é e a integral de é . Então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Sabemos que e . Podemos chamar de outra constante, digamos :
Como é uma constante arbitrária, podemos simplesmente escrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante real.

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