1. f^prime(x)=(sen x)^arcsen x(cot x arcsen x+ln (sen x)raiz1-x^2)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar a derivada de uma função composta. Precisamos entender como derivar uma função que tem uma base trigonométrica elevada a outra função inversa trigonométrica. Para isso, vamos usar o método da diferenciação logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos derivar. Suponha que . Nosso objetivo é encontrar a derivada .

Passo 3

Para derivar , vamos usar a diferenciação logarítmica. Começamos aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a f^prime(x)f(x) = ddx (arcsen x) cdot ln (sen x) + arcsen x cdot ddx (ln (sen x)) usando a regra da cadeia e a regra do produto:
Sabemos que:
Substituindo essas derivadas:

Passo 5

Finalmente, isolamos f^prime(x) = f(x) ( ln (sen x)raiz1 - x^2 + arcsen x cdot cot x ) multiplicando ambos os lados por f^prime(x) = (sen x)^arcsen x ( cot x cdot arcsen x + ln (sen x)raiz1 - x^2 ) :
Como , substituímos de volta:

Resposta

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