1. f'(x) = e^(raiz(x)) * (1 + raiz(x) * ln(raiz(x))) / (2 * x)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos a derivada de uma função dada por
O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas e integrais. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de derivação e, inversamente, encontrar a função original através da integração.

Passo 2

Como queremos encontrar a função a partir da sua derivada , precisamos integrar . Ou seja:
Então, o próximo passo é entender como integrar essa expressão.

Passo 3

Observando a expressão de :
Perceba que temos um produto de com . Isso sugere que a função original pode ser algo como multiplicado por uma função que, ao ser derivada, gere o termo adicional presente.

Passo 4

Vamos supor que . Agora, vamos derivar essa função para verificar se obtemos :
Usando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Fatorando :
Que é exatamente a expressão dada no enunciado.

Resposta

A função original é
onde é a constante de integração.

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