(10) integral d xx^2+2 x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral integral dxx^2+2x. Esse exercício tá dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente na técnica de frações parciais. Pra resolver, a gente vai precisar fatorar o denominador e separar a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: x^2 + 2x. A gente pode fatorar isso colocando x em evidência:
x^2 + 2x = x(x + 2)
Agora, a integral fica assim:
integral dxx(x + 2)

Passo 3

Agora, vamos usar frações parciais para quebrar essa fração em duas partes mais simples. A ideia é escrever:
1x(x + 2) = Ax + Bx + 2
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x(x + 2) para eliminar os denominadores:
1 = A(x + 2) + Bx
Agora, escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  1. Se x = 0:
    1 = A(0 + 2) + B(0) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12
  2. Se x = -2:
    1 = A(-2 + 2) + B(-2) Rightarrow 1 = -2B Rightarrow B = -12
Então, A = 12 e B = -12.

Passo 5

Com os valores de A e B, a fração fica:
1x(x + 2) = 12x + -12x + 2
Agora, podemos reescrever a integral assim:
integral ( 1/2x - 1/2x + 2 ) dx
Podemos separar a integral:
12 integral dxx - 12 integral dxx + 2
Agora, lembrando que integral dxx = ln|x| + C, onde C é a constante de integração, vamos integrar cada termo:
12 ln|x| - 12 ln|x + 2| + C

Resposta

A integral integral dxx^2+2x é igual a:
12 ln|x| - 12 ln|x + 2| + C
Onde C é a constante de integração.

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