Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a integral
. Esse exercício tá dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente na técnica de frações parciais. Pra resolver, a gente vai precisar fatorar o denominador e separar a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. A gente pode fatorar isso colocando
em evidência:
Agora, a integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos usar frações parciais para quebrar essa fração em duas partes mais simples. A ideia é escrever:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
-
Se
: -
Se
:
Então,
e
.
Passo 5
Com os valores de
e
, a fração fica:
Agora, podemos reescrever a integral assim:
Podemos separar a integral:
Agora, lembrando que
, onde
é a constante de integração, vamos integrar cada termo:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Um sólido é girado pela rotação em torno do eixo
da região abaixo da curva
, onde
é uma função positiva e
. O volume gerado pela parte da curva de
a
é
para todo
. Encontre a função
.
Cylinder and cones Find the volume of the solid cut from the thick-walled cylinder
by the cones
A água em uma tigela aberta evapora a uma taxa proporcional à área da superfície da água. (Isso significa que a taxa de decréscimo do volume é proporcional à área da superfície). Mostre que a profundidade da água diminui a uma taxa constante, independentemente da forma da tigela.