Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração complexa em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que
é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar como:
Portanto, o denominador fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração
como uma soma de frações parciais. Assumimos a forma:
onde
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, escolhemos valores estratégicos para
para facilitar a resolução das constantes:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Para encontrar
e
, podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes dos termos semelhantes.
Expandindo:
Simplificando e coletando termos semelhantes, obtemos um sistema de equações que nos permitirá encontrar
e
. Após resolver, descobrimos que:
Passo 7
Agora que temos todas as constantes, nossa decomposição em frações parciais fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Lembrando que:
e
Passo 9
Aplicando essas integrais, temos:
Podemos simplificar combinando os logaritmos: