(19) integral d x(x^2-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração complexa em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Sabemos que (x^2 - 1)^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2 é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar como:
Portanto, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 1(x - 1)^2(x + 1)^2 = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx + 1 + D(x + 1)^2 como uma soma de frações parciais. Assumimos a forma:
onde , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x - 1)(x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x + 1)(x - 1)^2 + D(x - 1)^2 para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, escolhemos valores estratégicos para 1 = B(1 + 1)^2 Rightarrow 1 = B(4) Rightarrow B = 14 para facilitar a resolução das constantes:
  1. Para 1 = D(-1 - 1)^2 Rightarrow 1 = D(4) Rightarrow D = 14 :
  1. Para :

Passo 6

Para encontrar 1 = A(x - 1)(x^2 + 2x + 1) + 14(x^2 + 2x + 1) + C(x + 1)(x^2 - 2x + 1) + 14(x^2 - 2x + 1) e A = 14 e C = -14 , podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes dos termos semelhantes.
Expandindo:
Simplificando e coletando termos semelhantes, obtemos um sistema de equações que nos permitirá encontrar e . Após resolver, descobrimos que:

Passo 7

Agora que temos todas as constantes, nossa decomposição em frações parciais fica:
1(x^2-1)^2 = 14x - 1 + 14(x - 1)^2 + -14x + 1 + 14(x + 1)^2

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral dx(x^2-1)^2 = 14 integral dxx - 1 + 14 integral dx(x - 1)^2 - 14 integral dxx + 1 + 14 integral dx(x + 1)^2
Lembrando que:
integral dxx - a = ln|x - a| + C
e
integral dx(x - a)^2 = -1x - a + C

Passo 9

Aplicando essas integrais, temos:
14 ln|x - 1| - 14(x - 1) - 14 ln|x + 1| - 14(x + 1) + C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
14 ln|x - 1x + 1| - 14(x - 1) - 14(x + 1) + C

Resposta

integral dx(x^2-1)^2 = 14 ln|x - 1x + 1| - 14(x - 1) - 14(x + 1) + C

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