A água em uma tigela aberta evapora a uma taxa proporcional à área da superfície da água. (Isso significa que a taxa de decréscimo do volume é proporcional à área da superfície). Mostre que a profundidade da água diminui a uma taxa constante, independentemente da forma da tigela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre água evaporando em uma tigela aberta. A taxa com que o volume da água diminui é proporcional à área da superfície da água. Nosso objetivo aqui é mostrar que, independentemente do formato da tigela, a profundidade da água diminui a uma taxa constante. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a taxa de decréscimo do volume é proporcional à área da superfície. Isso quer dizer que podemos escrever matematicamente:
Aqui,
é a taxa de variação do volume com o tempo,
é a área da superfície da água, e
é uma constante positiva que representa a proporcionalidade.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar o volume
com a profundidade da água
. O volume depende da forma da tigela, mas a área da superfície
também depende dessa forma. Entretanto, queremos mostrar que a taxa de variação da profundidade
é constante, independentemente da forma.
Vamos expressar o volume
em termos da profundidade
:
Aqui,
é a área da superfície em uma profundidade
.
Passo 4
Derivando ambos os lados em relação ao tempo
, temos:
Essa é a regra da cadeia, onde
é a área na profundidade
, e
é a taxa de variação da profundidade que queremos encontrar.
Passo 5
Sabemos pela equação do Passo 2 que:
Comparando com a equação do Passo 4:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A profundidade da água diminui a uma taxa constante igual a
, independente da forma da tigela.
Exercícios relacionados
Um sólido é girado pela rotação em torno do eixo
da região abaixo da curva
, onde
é uma função positiva e
. O volume gerado pela parte da curva de
a
é
para todo
. Encontre a função
.