A água em uma tigela aberta evapora a uma taxa proporcional à área da superfície da água. (Isso significa que a taxa de decréscimo do volume é proporcional à área da superfície). Mostre que a profundidade da água diminui a uma taxa constante, independentemente da forma da tigela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre água evaporando em uma tigela aberta. A taxa com que o volume da água diminui é proporcional à área da superfície da água. Nosso objetivo aqui é mostrar que, independentemente do formato da tigela, a profundidade da água diminui a uma taxa constante. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a taxa de decréscimo do volume é proporcional à área da superfície. Isso quer dizer que podemos escrever matematicamente:
Aqui, é a taxa de variação do volume com o tempo, é a área da superfície da água, e é uma constante positiva que representa a proporcionalidade.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar o volume com a profundidade da água . O volume depende da forma da tigela, mas a área da superfície também depende dessa forma. Entretanto, queremos mostrar que a taxa de variação da profundidade é constante, independentemente da forma.
Vamos expressar o volume em termos da profundidade :
Aqui, é a área da superfície em uma profundidade .

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação ao tempo , temos:
Essa é a regra da cadeia, onde é a área na profundidade , e é a taxa de variação da profundidade que queremos encontrar.

Passo 5

Sabemos pela equação do Passo 2 que:
Comparando com a equação do Passo 4:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Resposta

A profundidade da água diminui a uma taxa constante igual a , independente da forma da tigela.

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