Cylinder and cones Find the volume of the solid cut from the thick-walled cylinder
by the cones
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está dentro de um cilindro de paredes espessas definido por
e cortado por dois cones dados por
. Vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente usa
para a distância radial do centro,
para o ângulo, e
permanece o mesmo. Isso vai facilitar a gente a trabalhar com cilindros e cones que têm simetria circular.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração:
- O raio
varia de até , já que . - O ângulo
vai de a para cobrir toda a volta. - O eixo
vai de até , porque nossos cones limitam entre esses valores.
Passo 4
Vamos montar a integral para o volume usando essas coordenadas:
Aqui, o
extra vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, agora temos:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Assim, a integral fica:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido é
.