Cylinder and cones Find the volume of the solid cut from the thick-walled cylinder 1 <= x^2 + y^2 <= 2 by the cones z = +- raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está dentro de um cilindro de paredes espessas definido por e cortado por dois cones dados por . Vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente usa para a distância radial do centro, para o ângulo, e permanece o mesmo. Isso vai facilitar a gente a trabalhar com cilindros e cones que têm simetria circular.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • O raio varia de até , já que .
  • O ângulo vai de a para cobrir toda a volta.
  • O eixo vai de até , porque nossos cones limitam entre esses valores.

Passo 4

Vamos montar a integral para o volume usando essas coordenadas:
Aqui, o extra vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, agora temos:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Assim, a integral fica:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido é .

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