Um sólido é girado pela rotação em torno do eixo
da região abaixo da curva
, onde
é uma função positiva e
. O volume gerado pela parte da curva de
a
é
para todo
. Encontre a função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre girar uma região abaixo da curva
em torno do eixo
para formar um sólido. A gente sabe que o volume gerado dessa rotação, de
até
, é igual a
para todo
. Nosso objetivo é descobrir qual é a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um sólido de rotação. Quando giramos uma curva
em torno do eixo
, o volume
é dado pela integral:
Aqui,
representa a área de um disco infinitesimal com raio
, e integramos de
a
para achar o volume total.
Passo 3
Segundo o enunciado, esse volume
é igual a
. Então, podemos igualar as duas expressões:
Agora, queremos encontrar
.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Por quê? Porque a derivada da integral em relação ao limite superior nos dá a função dentro da integral, segundo o Teorema Fundamental do Cálculo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Finalmente, substituindo
por
(já que estamos buscando
), temos:
Resposta
A função desejada é
.
Exercícios relacionados
Cylinder and cones Find the volume of the solid cut from the thick-walled cylinder
by the cones
Let
be the region bounded below by the plane
, above by the sphere
, and on the sides by the cylinder
. Set up the triple integrals in cylindrical coordinates that give the volume of
using the following orders of integration.
A água em uma tigela aberta evapora a uma taxa proporcional à área da superfície da água. (Isso significa que a taxa de decréscimo do volume é proporcional à área da superfície). Mostre que a profundidade da água diminui a uma taxa constante, independentemente da forma da tigela.