Um sólido é girado pela rotação em torno do eixo x da região abaixo da curva y = f(x), onde f é uma função positiva e x >= 0. O volume gerado pela parte da curva de x = 0 a x = b é b^2 para todo b > 0. Encontre a função f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre girar uma região abaixo da curva em torno do eixo para formar um sólido. A gente sabe que o volume gerado dessa rotação, de até , é igual a para todo . Nosso objetivo é descobrir qual é a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um sólido de rotação. Quando giramos uma curva em torno do eixo , o volume é dado pela integral:
Aqui, representa a área de um disco infinitesimal com raio , e integramos de a para achar o volume total.

Passo 3

Segundo o enunciado, esse volume é igual a . Então, podemos igualar as duas expressões:
Agora, queremos encontrar .

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos derivar ambos os lados em relação a . Por quê? Porque a derivada da integral em relação ao limite superior nos dá a função dentro da integral, segundo o Teorema Fundamental do Cálculo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 6

Finalmente, substituindo por (já que estamos buscando ), temos:

Resposta

A função desejada é .

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