onde e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a expressão , onde . O caminho é composto por três partes: de (origem) a , de a e de de volta para . Vamos usar cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso. Precisamos parametrizar cada trecho do caminho e calcular a integral em cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o trecho de a . Vamos chamar esse trecho de .
  • Parametrização de :
    Como estamos indo de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1:
  • Derivada de :
  • Substituindo na força :
  • Produto escalar :
  • Integral em :

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o trecho de a , que chamaremos de .
  • Parametrização de :
    De a , usamos de 0 a 1:
  • Derivada de :
  • Substituindo na força :
    Calculando:
    Então:
  • Produto escalar :
  • Integral em :

Passo 4

Agora, peguei o trecho de de volta para , que será .
  • Parametrização de :
    De a , usando de 0 a 1:
  • Derivada de :
  • Substituindo na força :
  • Produto escalar :
  • Integral em :

Passo 5

Agora, somamos as integrais dos três trechos:

Resposta

Multiplicando o resultado da integral por 10:
Portanto, a resposta final é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes antiderivadas:
e. .
Sendo e pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
e) e .
Calcule, usando o teorema fundamental do cálculo (parte 1), a derivada das seguintes funções:
d. .
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
d) .