10 integralc F cdot d barR, onde barF=2 z y i+x^2 j+(x+y) bark, C=O A+A B+B O, A=(1,2,3), e B=(2,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a expressão , onde . O caminho é composto por três partes: de (origem) a , de a e de de volta para . Vamos usar cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso. Precisamos parametrizar cada trecho do caminho e calcular a integral em cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o trecho de R1(t) = (1t, 2t, 3t), t in [0,1] a dR1dt = (1, 2, 3) . Vamos chamar esse trecho de F(R1(t)) = 2 cdot (3t) cdot (2t),i + (1t)^2,j + (1t + 2t),k = (12t^2, t^2, 3t) .
  • Parametrização de F cdot dR1dt = 12t^2 cdot 1 + t^2 cdot 2 + 3t cdot 3 = 12t^2 + 2t^2 + 9t = 14t^2 + 9t :
    Como estamos indo de integralC1 F cdot dR = integral0^1 (14t^2 + 9t) , dt = [ 143t^3 + 92t^2 ]0^1 = 143 + 92 = 286 + 276 = 556 a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1:
  • Derivada de :
  • Substituindo na força :
  • Produto escalar :
  • Integral em :

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o trecho de R2(t) = (1 + t, 2 - 2t, 3 - 4t), t in [0,1] a dR2dt = (1, -2, -4) , que chamaremos de F(R2(t)) = 2 cdot (3 - 4t) cdot (2 - 2t),i + (1 + t)^2,j + (1 + t + 2 - 2t),k = (2(3 - 4t)(2 - 2t), (1 + t)^2, (3 - t)) .
  • Parametrização de 2(3 - 4t)(2 - 2t) = 2(6 - 6t - 8t + 8t^2) = 12 - 28t + 16t^2 :
    De F(R2(t)) = (12 - 28t + 16t^2, 1 + 2t + t^2, 3 - t) a (12 - 28t + 16t^2) cdot 1 + (1 + 2t + t^2) cdot (-2) + (3 - t) cdot (-4) = 12 - 28t + 16t^2 - 2 - 4t - 2t^2 -12 + 4t = 14t^2 - 28t -2 , usamos integralC2 F cdot dR = integral0^1 (14t^2 - 28t -2) , dt = [ 143t^3 - 14t^2 -2t ]0^1 = 143 - 14 -2 = 14 - 42 -63 = -343 de 0 a 1:
  • Derivada de :
  • Substituindo na força :
    Calculando:
    Então:
  • Produto escalar :
  • Integral em :

Passo 4

Agora, peguei o trecho de R3(t) = (2 - 2t, 0, -1 + t), t in [0,1] de volta para dR3dt = (-2, 0, 1) , que será F(R3(t)) = 2 cdot (-1 + t) cdot 0,i + (2 - 2t)^2,j + (2 - 2t + 0),k = (0, (2 - 2t)^2, 2 - 2t) .
  • Parametrização de 0 cdot (-2) + (4 - 8t + 4t^2) cdot 0 + (2 - 2t) cdot 1 = 2 - 2t :
    De integralC3 F cdot dR = integral0^1 (2 - 2t) , dt = [2t - t^2 ]0^1 = 2 -1 = 1 a , usando de 0 a 1:
  • Derivada de :
  • Substituindo na força :
  • Produto escalar :
  • Integral em :

Passo 5

Agora, somamos as integrais dos três trechos:
integralC F cdot dR = integralC1 F cdot dR + integralC2 F cdot dR + integralC3 F cdot dR = 556 + (-343) + 1 = 556 - 686 + 66 = -76

Resposta

Multiplicando o resultado da integral por 10:
10 integralC F cdot dR = 10 cdot (-76) = -706 = -353
Portanto, a resposta final é .

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