Calcule as seguintes antiderivadas:
e. integral cos (raiztheta) d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a antiderivada integral cos (raiztheta) , dtheta. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, integrais envolvendo funções trigonométricas e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar u = raiztheta. Isso significa que theta = u^2. Agora, precisamos encontrar dtheta em termos de du.

Passo 3

Calculando a derivada de theta em relação a u, temos:
dthetadu = 2u Rightarrow dtheta = 2u , du
Substituindo u e dtheta na integral original:
integral cos (raiztheta) , dtheta = integral cos(u) cdot 2u , du = 2 integral u cos(u) , du

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral 2 integral u cos(u) , du. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
u = u Rightarrow du = du
dv = cos(u) , du Rightarrow v = sin(u)
Aplicando a integração por partes:
integral u cos(u) , du = u sin(u) - integral sin(u) , du = u sin(u) + cos(u) + C
Portanto:
2 integral u cos(u) , du = 2u sin(u) + 2cos(u) + C

Passo 5

Agora, voltamos à variável original theta. Lembrando que u = raiztheta, substituímos de volta:
2u sin(u) + 2cos(u) + C = 2raiztheta sin(raiztheta) + 2cos(raiztheta) + C

Resposta

A antiderivada é:
2, raiztheta, sin(raiztheta) + 2, cos(raiztheta) + C

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