Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a origem (o centro) e o raio da esfera que está descrita pela equação . Para isso, vamos usar geometria analítica e completar o quadrado para cada variável , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de cada variável:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o . Pegamos o coeficiente de , que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 16 na equação:
Isso fica assim:

Passo 4

Fazemos o mesmo para o . O coeficiente de é -6:
Adicionamos e subtraímos 9 na equação:
Isso fica assim:

Passo 5

Vamos completar o quadrado para o . O coeficiente de é -2:
Adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso fica assim:

Passo 6

Agora, somamos todas as constantes:
Então, a equação fica:

Passo 7

Isolamos os termos quadrados:

Resposta

A esfera tem centro no ponto e raio igual a 1.

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Calcule, usando o teorema fundamental do cálculo (parte 1), a derivada das seguintes funções:
d. .
onde e .
onde e é o círculo de raio 2 e centro na origem, tomado no sentido anti-horário.
Nos problemas 11 a 18, use o teorema de Green para calcular cada integral de linha. Em cada caso, suponha que a curva fechada é tomada no sentido anti-horário.