Calcule, usando o teorema fundamental do cálculo (parte 1), a derivada das seguintes funções:
d. k(y)=integral0^raiz[3]y sen(u^3)u^3+1 d u.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, , usando o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1). Para isso, vamos precisar saber como derivar uma integral onde o limite superior depende da variável .

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior sendo uma função de K'(y) = f(g(y)) cdot g'(y) , então a derivada dessa função é a função integranda avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite superior.
Matematicamente, se , então:

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, identificamos:
  • A função integranda k'(y) = f(g(y)) cdot g'(y)
  • O limite superior
Portanto, a derivada será:

Passo 4

Vamos calcular f(g(y)) = sen((raiz[3]y)^3)(raiz[3]y)^3 + 1 = sen(y)y + 1 . Substituindo por na função integranda:
Aqui simplificamos para .

Passo 5

Agora, vamos derivar g'(y) = 13 y^-2/3 = 13 y^2/3 . Sabemos que pode ser escrito como . Usando a regra da potência para derivação:

Passo 6

Finalmente, multiplicamos k'(y) = sen(y)y + 1 cdot 13 y^2/3 = sen(y)3 y^2/3 (y + 1) por para encontrar :

Resposta

A derivada da função é:
k'(y) = dfracsen(y)3 , y^2/3 , (y + 1)

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