Calcule, usando o teorema fundamental do cálculo (parte 1), a derivada das seguintes funções:
d. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, , usando o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1). Para isso, vamos precisar saber como derivar uma integral onde o limite superior depende da variável .
Passo 2
O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior sendo uma função de , então a derivada dessa função é a função integranda avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite superior.
Matematicamente, se , então:
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, identificamos:
A função integranda
O limite superior
Portanto, a derivada será:
Passo 4
Vamos calcular . Substituindo por na função integranda:
Aqui simplificamos para .
Passo 5
Agora, vamos derivar . Sabemos que pode ser escrito como . Usando a regra da potência para derivação: