Calcule, usando o teorema fundamental do cálculo (parte 1), a derivada das seguintes funções:
d. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, , usando o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1). Para isso, vamos precisar saber como derivar uma integral onde o limite superior depende da variável .

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior sendo uma função de , então a derivada dessa função é a função integranda avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite superior.
Matematicamente, se , então:

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, identificamos:
  • A função integranda
  • O limite superior
Portanto, a derivada será:

Passo 4

Vamos calcular . Substituindo por na função integranda:
Aqui simplificamos para .

Passo 5

Agora, vamos derivar . Sabemos que pode ser escrito como . Usando a regra da potência para derivação:

Passo 6

Finalmente, multiplicamos por para encontrar :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

onde e .
Calcule as seguintes antiderivadas:
e. .
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
d) .
onde e é o círculo de raio 2 e centro na origem, tomado no sentido anti-horário.