(10 pontos) Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
. Esse tipo de limite está relacionado a cálculo diferencial, mais especificamente ao conceito de derivada de uma função. Para resolver isso, precisamos entender o que é derivada e como aplicar a definição de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função
em um ponto
mede a taxa de variação de
nesse ponto, ou seja, quão rápido a função está mudando ali. Matematicamente, a derivada de
em
é definida por:
Passo 3
Comparando isso com o limite que temos no exercício, vemos que
. Então, o limite dado é justamente a definição da derivada de
no ponto
. Portanto:
Resposta
A resposta final é
.
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Mostre que as sequências
e
divergem; porém, a sequência
é convergente. Compare com as propriedades de limites de sequência. Qual sua conclusão?
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule
onde
é o conjunto
.
Use coordenadas cilíndricas e calcule
onde
é o cilindro
e
.