(10 pontos) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite . Esse tipo de limite está relacionado a cálculo diferencial, mais especificamente ao conceito de derivada de uma função. Para resolver isso, precisamos entender o que é derivada e como aplicar a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação de nesse ponto, ou seja, quão rápido a função está mudando ali. Matematicamente, a derivada de em é definida por:

Passo 3

Comparando isso com o limite que temos no exercício, vemos que . Então, o limite dado é justamente a definição da derivada de no ponto . Portanto:

Resposta

A resposta final é .

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Mostre que as sequências e divergem; porém, a sequência
é convergente. Compare com as propriedades de limites de sequência. Qual sua conclusão?
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule onde é o conjunto .
Use coordenadas cilíndricas e calcule onde é o cilindro e .