Mostre que as sequências {n^2/(n-3)}_{n=1}^{\infty} e {n^2 / (n + 4)}_{n=1}^{infinito} divergem; porém, a sequência
{(n^2 / (n - 3)) - (n^2 / (n + 4))}_{n=1}^{infinito}
é convergente. Compare com as propriedades de limites de sequência. Qual sua conclusão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que as sequências e não têm limite (ou seja, divergem). Além disso, temos que provar que a sequência converge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência . Para entender o comportamento dessa sequência quando cresce sem limites, vamos dividir numerador e denominador por :
Agora, observamos que quando tende ao infinito, tende a zero. Portanto:
Isso significa que a sequência diverge para o infinito.

Passo 3

Vamos agora analisar a sequência . Usando o mesmo raciocínio, dividimos numerador e denominador por :
Quando tende ao infinito, também tende a zero. Assim:
Portanto, a sequência também diverge para o infinito.

Passo 4

Agora, vamos examinar a sequência . Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Vamos encontrar um denominador comum para as frações dentro dos parênteses:
Então, a expressão fica:
Dividindo numerador e denominador por :
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Isso mostra que a sequência converge para 7.

Resposta

As sequências e divergem para o infinito, enquanto a sequência converge para 7. Portanto, mesmo que duas sequências individuais não tenham limite, a combinação delas pode resultar em uma sequência convergente.

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