Mostre que as sequências
e
divergem; porém, a sequência
é convergente. Compare com as propriedades de limites de sequência. Qual sua conclusão?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que as sequências
e
não têm limite (ou seja, divergem). Além disso, temos que provar que a sequência
converge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Para entender o comportamento dessa sequência quando
cresce sem limites, vamos dividir numerador e denominador por
:
Agora, observamos que quando
tende ao infinito,
tende a zero. Portanto:
Isso significa que a sequência
diverge para o infinito.
Passo 3
Vamos agora analisar a sequência
. Usando o mesmo raciocínio, dividimos numerador e denominador por
:
Quando
tende ao infinito,
também tende a zero. Assim:
Portanto, a sequência
também diverge para o infinito.
Passo 4
Agora, vamos examinar a sequência
. Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Vamos encontrar um denominador comum para as frações dentro dos parênteses:
Então, a expressão fica:
Dividindo numerador e denominador por
:
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Isso mostra que a sequência
converge para 7.
Resposta
As sequências
e
divergem para o infinito, enquanto a sequência
converge para 7. Portanto, mesmo que duas sequências individuais não tenham limite, a combinação delas pode resultar em uma sequência convergente.
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
(10 pontos) Calcule
.
Calcule
onde
é o conjunto
.