Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série infinita é convergente ou divergente. Além disso, se ela convergir, precisamos calcular a soma dessa série. Para isso, vamos utilizar o conceito de séries geométricas, que é fundamental para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Lembre-se que . Então:

Passo 3

Agora, nossa série fica assim:
Essa é uma série geométrica da forma , onde é o primeiro termo e é a razão da série.

Passo 4

Para saber se a série converge, precisamos verificar o valor de . Se , a série converge; caso contrário, ela diverge.
No nosso caso, , e . Portanto, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos encontrar a soma dela. A soma de uma série geométrica infinita a partir do termo é dada por:
Aqui, (pois não há coeficiente multiplicando ) e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 7

Para simplificar a fração, multiplicamos o numerador pelo inverso do denominador:
Agora, simplificando essa fração:

Resposta

A série é convergente e a soma da série é .

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(10 pontos) Calcule .