Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série infinita é convergente ou divergente. Além disso, se ela convergir, precisamos calcular a soma dessa série. Para isso, vamos utilizar o conceito de séries geométricas, que é fundamental para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Lembre-se que . Então:
Passo 3
Agora, nossa série fica assim:
Essa é uma série geométrica da forma , onde é o primeiro termo e é a razão da série.
Passo 4
Para saber se a série converge, precisamos verificar o valor de . Se , a série converge; caso contrário, ela diverge.
No nosso caso, , e . Portanto, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos encontrar a soma dela. A soma de uma série geométrica infinita a partir do termo é dada por:
Aqui, (pois não há coeficiente multiplicando ) e .
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Para simplificar a fração, multiplicamos o numerador pelo inverso do denominador: