Calcule integral triplaB raiz1-z^2 d x d y d z onde B é o conjunto 0 <= x <= 1,0 <= z <= 1,0 <= y <= z.

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla integral triplaB raiz1-z^2 , dx , dy , dz. O conjunto B é definido por 0 <= x <= 1, 0 <= z <= 1 e 0 <= y <= z. Aqui, vamos usar conhecimentos de integração múltipla, especialmente a ordem de integração e os limites de integração. Precisamos entender como os limites se relacionam entre as variáveis x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem de integração mais simples. Observando os limites, podemos integrar primeiro em relação a x, depois em y e por último em z. Então, a integral fica:
integralz=0^1 integraly=0^z integralx=0^1 raiz1 - z^2 , dx , dy , dz

Passo 3

Vamos integrar em relação a x primeiro. A função raiz1 - z^2 não depende de x, então a integral em x é simplesmente:
integralx=0^1 raiz1 - z^2 , dx = raiz1 - z^2 cdot (1 - 0) = raiz1 - z^2

Passo 4

Agora, substituímos o resultado na integral e integramos em relação a y:
integraly=0^z raiz1 - z^2 , dy = raiz1 - z^2 cdot (z - 0) = z raiz1 - z^2

Passo 5

Por fim, integramos em relação a z:
integralz=0^1 z raiz1 - z^2 , dz
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Deixe u = 1 - z^2, então du = -2z , dz ou - 12 du = z , dz. Substituindo:
-12 integralu=1^0 raizu , du = 12 integral0^1 raizu , du
A integral de raizu é:
12 cdot [ 23 u^3/2 ]0^1 = 12 cdot 23 (1 - 0) = 13

Resposta

O valor da integral tripla é 13.

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