Use coordenadas cilíndricas e calcule
onde
é o cilindro
e
.
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla
, onde
é o cilindro definido por
e
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam o cálculo em regiões com simetria cilíndrica. Precisaremos lembrar das fórmulas de mudança para coordenadas cilíndricas e como expressar a função a ser integrada nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como converter as coordenadas cartesianas
para as coordenadas cilíndricas
. As relações são:
E o volume elementar em coordenadas cilíndricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas cilíndricas. Substituindo as expressões de
e
, temos:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração para cada coordenada. O cilindro
em coordenadas cilíndricas corresponde a
. O ângulo
varia de
a
para cobrir toda a circunferência. E
varia de
a
. Portanto, os limites são:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral tripla original em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a
, depois a
, e por último a
. Começamos com a integral interna:
Fazemos uma substituição para simplificar: seja
, então
, mas percebemos que essa substituição pode não simplificar diretamente. Em vez disso, reconhecemos que a integral pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes ou substituição adequada.
No entanto, para simplificar, podemos trocar a ordem de integração ou usar uma abordagem direta. Aqui, vamos integrar em relação a
mantendo
constante.
Passo 7
Integrando em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
, e
. A integral se torna:
A integração de
resulta em:
Aplicando os limites e simplificando, encontramos uma expressão em termos de
.
Passo 8
Após resolver a integral em
, procedemos com a integral em
:
E, por fim, a integral em
:
Resposta
Após realizar todas as integrações, o valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é o conjunto
.
(10 pontos) Calcule
.
Use coordenadas cilíndricas e calcule
onde
é o sólido
e
Calcule as integrais abaixo: