Use coordenadas cilíndricas e calcule onde é o cilindro e .

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla , onde é o cilindro definido por e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam o cálculo em regiões com simetria cilíndrica. Precisaremos lembrar das fórmulas de mudança para coordenadas cilíndricas e como expressar a função a ser integrada nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como converter as coordenadas cartesianas para as coordenadas cilíndricas . As relações são:
E o volume elementar em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função em coordenadas cilíndricas. Substituindo as expressões de e , temos:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para cada coordenada. O cilindro em coordenadas cilíndricas corresponde a . O ângulo varia de a para cobrir toda a circunferência. E varia de a . Portanto, os limites são:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral tripla original em coordenadas cilíndricas:

Passo 6

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a , depois a , e por último a . Começamos com a integral interna:
Fazemos uma substituição para simplificar: seja , então , mas percebemos que essa substituição pode não simplificar diretamente. Em vez disso, reconhecemos que a integral pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes ou substituição adequada.
No entanto, para simplificar, podemos trocar a ordem de integração ou usar uma abordagem direta. Aqui, vamos integrar em relação a mantendo constante.

Passo 7

Integrando em relação a :
Fazendo a substituição , então , e . A integral se torna:
A integração de resulta em:
Aplicando os limites e simplificando, encontramos uma expressão em termos de .

Passo 8

Após resolver a integral em , procedemos com a integral em :
ã
E, por fim, a integral em :

Resposta

Após realizar todas as integrações, o valor da integral tripla é .

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Calcule onde é o conjunto .
(10 pontos) Calcule .
Use coordenadas cilíndricas e calcule onde é o sólido e
Calcule as integrais abaixo: