(10 pontos) Calcule lim x 0(x^3-x) cos (1x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 0 da função . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções que envolvem trigonometria e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de zero e como isso afeta o limite da expressão toda.

Passo 2

Primeiro, observe que a função cosseno, -1 <= cos(1x) <= 1 , sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, independentemente do valor de , o cosseno nunca vai ultrapassar esses valores.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por . Como pode ser negativo ou positivo dependendo de , precisamos ter cuidado, mas sabemos que quando se aproxima de 0, se torna muito pequeno em comparação com . Assim, se comporta aproximadamente como .

Passo 4

Utilizando o fato de que -(x^3 - x) <= (x^3 - x)cos(1x) <= (x^3 - x) , podemos escrever:
x - x^3 <= (x^3 - x)cos(1x) <= -x + x^3
Agora, simplificando:
x <= (x^3 - x)cos(1x) <= -x
Como se torna negligível perto de 0, podemos aproximar:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), que nos diz que se uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Sabemos que:
limx to 0 x = 0 e limx to 0 (-x) = 0
Portanto, pelo Teorema do Sandwich:
limx to 0 (x^3 - x)cos(1x) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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