(10 pontos) Calcule
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando
se aproxima de 0 da função
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções que envolvem trigonometria e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função
se comporta perto de zero e como isso afeta o limite da expressão toda.
Passo 2
Primeiro, observe que a função cosseno,
, sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, independentemente do valor de
, o cosseno nunca vai ultrapassar esses valores.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por
. Como
pode ser negativo ou positivo dependendo de
, precisamos ter cuidado, mas sabemos que quando
se aproxima de 0,
se torna muito pequeno em comparação com
. Assim,
se comporta aproximadamente como
.
Passo 4
Utilizando o fato de que
, podemos escrever:
Agora, simplificando:
Como
se torna negligível perto de 0, podemos aproximar:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), que nos diz que se uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Sandwich:
Resposta
O limite é igual a 0.
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(a) Resolva
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Reescreva a integral na forma de uma integral iterada equivalente na ordem
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