(10 pontos) Calcule

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 0 da função . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções que envolvem trigonometria e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de zero e como isso afeta o limite da expressão toda.

Passo 2

Primeiro, observe que a função cosseno, , sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, independentemente do valor de , o cosseno nunca vai ultrapassar esses valores.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por . Como pode ser negativo ou positivo dependendo de , precisamos ter cuidado, mas sabemos que quando se aproxima de 0, se torna muito pequeno em comparação com . Assim, se comporta aproximadamente como .

Passo 4

Utilizando o fato de que , podemos escrever:
Agora, simplificando:
Como se torna negligível perto de 0, podemos aproximar:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), que nos diz que se uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Sandwich:

Resposta

O limite é igual a 0.

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