Reescreva a integral na forma de uma integral iterada equivalente na ordem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever uma integral múltipla na ordem de integração . Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integração iterada e mudança de ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites de integração mudam quando alteramos a ordem das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral iterada. É quando a gente integra uma função de várias variáveis realizando uma integração de cada vez, respeitando a ordem das variáveis. Mudar a ordem de integração significa reorganizar essa sequência de integrações, o que pode facilitar os cálculos dependendo da região de integração.

Passo 3

Para reescrever a integral na ordem , precisamos identificar os limites de integração de cada variável ( , , ) com base na região de integração original. Geralmente, começamos identificando quais limites dependem de quais variáveis.

Passo 4

Vamos supor que os limites originais da integral estejam em outra ordem, como . O próximo passo é redesenhar a região de integração para expressar em termos de e , em termos de , e com limites fixos ou dependendo de outras variáveis, se necessário.

Passo 5

Depois de identificar os novos limites, substituímos na integral iterada seguindo a ordem . Isso significa que será integrado primeiro, depois , e por último .

Resposta

Assim, a integral iterada equivalente na ordem fica:

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