Mostre que x/(1+x) < ln(1+x) < x, seja qual for o x > 0.

Passo 1

Neste exercício, queremos provar que para todo número positivo , a desigualdade é verdadeira. Vamos utilizar conceitos básicos de cálculo, como integrais e propriedades das funções logarítmicas, para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural pode ser representado por uma integral:
Essa representação nos permitirá comparar com outras expressões integrais mais simples.

Passo 3

Observamos que no intervalo de integração , com , a função é menor que 1, ou seja:

Passo 4

Integrando ambos os lados da desigualdade no intervalo de 0 a x, temos:
Simplificando as integrais:
Isso nos dá a segunda parte da desigualdade que queremos provar.

Passo 5

Agora, para a primeira parte da desigualdade, notamos que:
Isso ocorre porque, à medida que t aumenta, o denominador também aumenta, fazendo com que a fração diminua.

Passo 6

Integrando ambos os lados dessa nova desigualdade no intervalo de 0 a x, obtemos:
Calculando as integrais:

Resposta

Assim, combinando as duas partes que mostramos, concluímos que para todo , a desigualdade é válida.

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