Mostre que
, seja qual for o
.
Passo 1
Neste exercício, queremos provar que para todo número positivo
, a desigualdade
é verdadeira. Vamos utilizar conceitos básicos de cálculo, como integrais e propriedades das funções logarítmicas, para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural pode ser representado por uma integral:
Essa representação nos permitirá comparar
com outras expressões integrais mais simples.
Passo 3
Observamos que no intervalo de integração
, com
, a função
é menor que
, ou seja:
Passo 4
Integrando ambos os lados da desigualdade no intervalo de
a
, temos:
Simplificando as integrais:
Isso nos dá a segunda parte da desigualdade que queremos provar.
Passo 5
Agora, para a primeira parte da desigualdade, notamos que:
Isso ocorre porque, à medida que
aumenta, o denominador
também aumenta, fazendo com que a fração diminua.
Passo 6
Integrando ambos os lados dessa nova desigualdade no intervalo de
a
, obtemos:
Calculando as integrais:
Resposta
Assim, combinando as duas partes que mostramos, concluímos que para todo
, a desigualdade
é válida.
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, onde:
, onde
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